Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35896 / 47976
↖ ↑ ↗
← S 63.801893°
E 17.182617°		 ← 269.68 m → S 63.801893°
E 17.188110°		 →
↑
269.68 m
↓
↑
269.68 m
↓
S 63.804319°
E 17.182617°		 ← 269.65 m →
72 724 m²		 S 63.804319°
E 17.188110°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35896 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47976 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.547737121582031 y=0.732063293457031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.547737121582031 × 216)
    floor (0.547737121582031 × 65536)
    floor (35896.5)     		tx = 35896
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.732063293457031 × 216)
    floor (0.732063293457031 × 65536)
    floor (47976.5)     		ty = 47976
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35896 / 47976 ti = "16/35896/47976"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35896/47976.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35896 ÷ 216
    35896 ÷ 65536     		x = 0.5477294921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47976 ÷ 216
    47976 ÷ 65536     		y = 0.7320556640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5477294921875 × 2 - 1) × π
    0.095458984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.29989324
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7320556640625 × 2 - 1) × π
    -0.464111328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.45804873884363
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.29989324} λ = 0.29989324}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.45804873884363))-π/2
    2×atan(0.232689870749968)-π/2
    2×0.228621607961254-π/2
    0.457243215922508-1.57079632675     		φ = -1.11355311
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.29989324} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 17.182617°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11355311 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.801893°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35896 KachelY 47976 0.29989324 -1.11355311 17.182617 -63.801893
    Oben rechts KachelX + 1 35897 KachelY 47976 0.29998912 -1.11355311 17.188110 -63.801893
    Unten links KachelX 35896 KachelY + 1 47977 0.29989324 -1.11359544 17.182617 -63.804319
    Unten rechts KachelX + 1 35897 KachelY + 1 47977 0.29998912 -1.11359544 17.188110 -63.804319
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11355311--1.11359544) × R
    4.23300000000904e-05 × 6371000     		dl = 269.684430000576m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11355311--1.11359544) × R
    4.23300000000904e-05 × 6371000     		dr = 269.684430000576m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.29989324-0.29998912) × cos(-1.11355311) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.441476200649088 × 6371000     		do = 269.676390551251m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.29989324-0.29998912) × cos(-1.11359544) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.441438218689189 × 6371000     		du = 269.653189214834m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11355311)-sin(-1.11359544))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.441476200649088-0.441438218689189)×R²
    abs(0.29998912-0.29989324)×3.79819598989584e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.79819598989584e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.79819598989584e-05×40589641000000     		ar = 72724.3951616452m²