Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35894 / 47786
↖ ↑ ↗
← S 63.337343°
E 17.171631°		 ← 274.08 m → S 63.337343°
E 17.177124°		 →
↑
274.08 m
↓
↑
274.08 m
↓
S 63.339808°
E 17.171631°		 ← 274.06 m →
75 118 m²		 S 63.339808°
E 17.177124°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35894 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47786 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.547706604003906 y=0.729164123535156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.547706604003906 × 216)
    floor (0.547706604003906 × 65536)
    floor (35894.5)     		tx = 35894
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.729164123535156 × 216)
    floor (0.729164123535156 × 65536)
    floor (47786.5)     		ty = 47786
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35894 / 47786 ti = "16/35894/47786"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35894/47786.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35894 ÷ 216
    35894 ÷ 65536     		x = 0.547698974609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47786 ÷ 216
    47786 ÷ 65536     		y = 0.729156494140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.547698974609375 × 2 - 1) × π
    0.09539794921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.29970150
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.729156494140625 × 2 - 1) × π
    -0.45831298828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.43983271698801
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.29970150} λ = 0.29970150}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.43983271698801))-π/2
    2×atan(0.23696739598645)-π/2
    2×0.232675574408349-π/2
    0.465351148816699-1.57079632675     		φ = -1.10544518
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.29970150} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 17.171631°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10544518 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.337343°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35894 KachelY 47786 0.29970150 -1.10544518 17.171631 -63.337343
    Oben rechts KachelX + 1 35895 KachelY 47786 0.29979737 -1.10544518 17.177124 -63.337343
    Unten links KachelX 35894 KachelY + 1 47787 0.29970150 -1.10548820 17.171631 -63.339808
    Unten rechts KachelX + 1 35895 KachelY + 1 47787 0.29979737 -1.10548820 17.177124 -63.339808
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10544518--1.10548820) × R
    4.30199999998937e-05 × 6371000     		dl = 274.080419999323m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10544518--1.10548820) × R
    4.30199999998937e-05 × 6371000     		dr = 274.080419999323m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.29970150-0.29979737) × cos(-1.10544518) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.448736636370978 × 6371000     		do = 274.082849446325m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.29970150-0.29979737) × cos(-1.10548820) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.44869819052839 × 6371000     		du = 274.059367195865m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10544518)-sin(-1.10548820))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.448736636370978-0.44869819052839)×R²
    abs(0.29979737-0.29970150)×3.84458425878309e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.84458425878309e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.84458425878309e-05×40589641000000     		ar = 75117.5244899113m²