Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3589 / 5438
↖ ↑ ↗
← S 50.680797°
W 22.280273°		 ← 3 096.28 m → S 50.680797°
W 22.236328°		 →
↑
3 095.35 m
↓
↑
3 095.35 m
↓
S 50.708634°
W 22.280273°		 ← 3 094.44 m →
9 581 224 m²		 S 50.708634°
W 22.236328°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3589 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5438 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.43817138671875 y=0.66387939453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.43817138671875 × 213)
    floor (0.43817138671875 × 8192)
    floor (3589.5)     		tx = 3589
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.66387939453125 × 213)
    floor (0.66387939453125 × 8192)
    floor (5438.5)     		ty = 5438
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3589 / 5438 ti = "13/3589/5438"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3589/5438.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3589 ÷ 213
    3589 ÷ 8192     		x = 0.4381103515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5438 ÷ 213
    5438 ÷ 8192     		y = 0.663818359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4381103515625 × 2 - 1) × π
    -0.123779296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.38886413
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.663818359375 × 2 - 1) × π
    -0.32763671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.02930110864185
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38886413} λ = -0.38886413}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.02930110864185))-π/2
    2×atan(0.357256556858875)-π/2
    2×0.343124774546166-π/2
    0.686249549092332-1.57079632675     		φ = -0.88454678
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38886413} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.280273°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88454678 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.680797°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3589 KachelY 5438 -0.38886413 -0.88454678 -22.280273 -50.680797
    Oben rechts KachelX + 1 3590 KachelY 5438 -0.38809714 -0.88454678 -22.236328 -50.680797
    Unten links KachelX 3589 KachelY + 1 5439 -0.38886413 -0.88503263 -22.280273 -50.708634
    Unten rechts KachelX + 1 3590 KachelY + 1 5439 -0.38809714 -0.88503263 -22.236328 -50.708634
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88454678--0.88503263) × R
    0.00048585000000001 × 6371000     		dl = 3095.35035000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88454678--0.88503263) × R
    0.00048585000000001 × 6371000     		dr = 3095.35035000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38886413--0.38809714) × cos(-0.88454678) × R
    0.000766989999999967 × 0.633640190185394 × 6371000     		do = 3096.27853761512m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38886413--0.38809714) × cos(-0.88503263) × R
    0.000766989999999967 × 0.633264248305253 × 6371000     		du = 3094.44150014038m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88454678)-sin(-0.88503263))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.633640190185394-0.633264248305253)×R²
    abs(-0.38809714--0.38886413)×0.000375941880141228×R²
    0.000766989999999967×0.000375941880141228×6371000²
    0.000766989999999967×0.000375941880141228×40589641000000     		ar = 9581223.90628193m²