Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3588 / 571
↖ ↑ ↗
← N 78.152551°
E135.351562°		 ← 2 006.46 m → N 78.152551°
E135.439453°		 →
↑
2 007.95 m
↓
↑
2 007.95 m
↓
N 78.134493°
E135.351562°		 ← 2 009.47 m →
4 031 892 m²		 N 78.134493°
E135.439453°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3588 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 571 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.8760986328125 y=0.1395263671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.8760986328125 × 212)
    floor (0.8760986328125 × 4096)
    floor (3588.5)     		tx = 3588
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1395263671875 × 212)
    floor (0.1395263671875 × 4096)
    floor (571.5)     		ty = 571
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3588 / 571 ti = "12/3588/571"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3588/571.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3588 ÷ 212
    3588 ÷ 4096     		x = 0.8759765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 571 ÷ 212
    571 ÷ 4096     		y = 0.139404296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8759765625 × 2 - 1) × π
    0.751953125 × 3.1415926535     		Λ = 2.36233041
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.139404296875 × 2 - 1) × π
    0.72119140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.26568962364233
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.36233041} λ = 2.36233041}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.26568962364233))-π/2
    2×atan(9.63776874305284)-π/2
    2×1.46740783256436-π/2
    2.93481566512873-1.57079632675     		φ = 1.36401934
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.36233041} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 135.351562°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36401934 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.152551°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3588 KachelY 571 2.36233041 1.36401934 135.351562 78.152551
    Oben rechts KachelX + 1 3589 KachelY 571 2.36386439 1.36401934 135.439453 78.152551
    Unten links KachelX 3588 KachelY + 1 572 2.36233041 1.36370417 135.351562 78.134493
    Unten rechts KachelX + 1 3589 KachelY + 1 572 2.36386439 1.36370417 135.439453 78.134493
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36401934-1.36370417) × R
    0.00031516999999992 × 6371000     		dl = 2007.94806999949m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36401934-1.36370417) × R
    0.00031516999999992 × 6371000     		dr = 2007.94806999949m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.36233041-2.36386439) × cos(1.36401934) × R
    0.0015339799999996 × 0.205306616029956 × 6371000     		do = 2006.45880324545m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.36233041-2.36386439) × cos(1.36370417) × R
    0.0015339799999996 × 0.205615061983061 × 6371000     		du = 2009.4732414058m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36401934)-sin(1.36370417))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.205306616029956-0.205615061983061)×R²
    abs(2.36386439-2.36233041)×0.000308445953104947×R²
    0.0015339799999996×0.000308445953104947×6371000²
    0.0015339799999996×0.000308445953104947×40589641000000     		ar = 4031891.53252346m²