Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 3588 / 3544
↖ ↑ ↗
← N 70.902268°
W101.162110°		 ← 799.39 m → N 70.902268°
W101.140137°		 →
↑
799.56 m
↓
↑
799.56 m
↓
N 70.895078°
W101.162110°		 ← 799.68 m →
639 279 m²		 N 70.895078°
W101.140137°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3588 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3544 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.219024658203125 y=0.216339111328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.219024658203125 × 214)
    floor (0.219024658203125 × 16384)
    floor (3588.5)     		tx = 3588
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.216339111328125 × 214)
    floor (0.216339111328125 × 16384)
    floor (3544.5)     		ty = 3544
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 3588 / 3544 ti = "14/3588/3544"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/3588/3544.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3588 ÷ 214
    3588 ÷ 16384     		x = 0.218994140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3544 ÷ 214
    3544 ÷ 16384     		y = 0.21630859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.218994140625 × 2 - 1) × π
    -0.56201171875 × 3.1415926535     		Λ = -1.76561189
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.21630859375 × 2 - 1) × π
    0.5673828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.78248567547217
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.76561189} λ = -1.76561189}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.78248567547217))-π/2
    2×atan(5.94461445148587)-π/2
    2×1.40413717758987-π/2
    2.80827435517974-1.57079632675     		φ = 1.23747803
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.76561189} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -101.162110°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23747803 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.902268°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3588 KachelY 3544 -1.76561189 1.23747803 -101.162110 70.902268
    Oben rechts KachelX + 1 3589 KachelY 3544 -1.76522839 1.23747803 -101.140137 70.902268
    Unten links KachelX 3588 KachelY + 1 3545 -1.76561189 1.23735253 -101.162110 70.895078
    Unten rechts KachelX + 1 3589 KachelY + 1 3545 -1.76522839 1.23735253 -101.140137 70.895078
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23747803-1.23735253) × R
    0.000125500000000001 × 6371000     		dl = 799.560500000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23747803-1.23735253) × R
    0.000125500000000001 × 6371000     		dr = 799.560500000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.76561189--1.76522839) × cos(1.23747803) × R
    0.00038349999999987 × 0.32718048787772 × 6371000     		do = 799.393051650872m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.76561189--1.76522839) × cos(1.23735253) × R
    0.00038349999999987 × 0.327299078015015 × 6371000     		du = 799.682800383637m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23747803)-sin(1.23735253))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.32718048787772-0.327299078015015)×R²
    abs(-1.76522839--1.76561189)×0.000118590137294927×R²
    0.00038349999999987×0.000118590137294927×6371000²
    0.00038349999999987×0.000118590137294927×40589641000000     		ar = 639278.944735126m²