Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 3588 / 2565
↖ ↑ ↗
← N 76.815782°
W101.162110°		 ← 557.27 m → N 76.815782°
W101.140137°		 →
↑
557.34 m
↓
↑
557.34 m
↓
N 76.810770°
W101.162110°		 ← 557.48 m →
310 644 m²		 N 76.810770°
W101.140137°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3588 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2565 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.219024658203125 y=0.156585693359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.219024658203125 × 214)
    floor (0.219024658203125 × 16384)
    floor (3588.5)     		tx = 3588
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.156585693359375 × 214)
    floor (0.156585693359375 × 16384)
    floor (2565.5)     		ty = 2565
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 3588 / 2565 ti = "14/3588/2565"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/3588/2565.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3588 ÷ 214
    3588 ÷ 16384     		x = 0.218994140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2565 ÷ 214
    2565 ÷ 16384     		y = 0.15655517578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.218994140625 × 2 - 1) × π
    -0.56201171875 × 3.1415926535     		Λ = -1.76561189
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15655517578125 × 2 - 1) × π
    0.6868896484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.15792747329645
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.76561189} λ = -1.76561189}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.15792747329645))-π/2
    2×atan(8.65318510411632)-π/2
    2×1.45574231902584-π/2
    2.91148463805167-1.57079632675     		φ = 1.34068831
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.76561189} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -101.162110°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34068831 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.815782°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3588 KachelY 2565 -1.76561189 1.34068831 -101.162110 76.815782
    Oben rechts KachelX + 1 3589 KachelY 2565 -1.76522839 1.34068831 -101.140137 76.815782
    Unten links KachelX 3588 KachelY + 1 2566 -1.76561189 1.34060083 -101.162110 76.810770
    Unten rechts KachelX + 1 3589 KachelY + 1 2566 -1.76522839 1.34060083 -101.140137 76.810770
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34068831-1.34060083) × R
    8.74799999999176e-05 × 6371000     		dl = 557.335079999475m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34068831-1.34060083) × R
    8.74799999999176e-05 × 6371000     		dr = 557.335079999475m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.76561189--1.76522839) × cos(1.34068831) × R
    0.00038349999999987 × 0.228082694528292 × 6371000     		do = 557.269543762856m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.76561189--1.76522839) × cos(1.34060083) × R
    0.00038349999999987 × 0.228167867836962 × 6371000     		du = 557.477645876701m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34068831)-sin(1.34060083))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.228082694528292-0.228167867836962)×R²
    abs(-1.76522839--1.76561189)×8.51733086693895e-05×R²
    0.00038349999999987×8.51733086693895e-05×6371000²
    0.00038349999999987×8.51733086693895e-05×40589641000000     		ar = 310643.857257296m²