Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 3588 / 2548
↖ ↑ ↗
← N 76.900709°
W101.162110°		 ← 553.74 m → N 76.900709°
W101.140137°		 →
↑
553.83 m
↓
↑
553.83 m
↓
N 76.895728°
W101.162110°		 ← 553.95 m →
306 737 m²		 N 76.895728°
W101.140137°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3588 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2548 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.219024658203125 y=0.155548095703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.219024658203125 × 214)
    floor (0.219024658203125 × 16384)
    floor (3588.5)     		tx = 3588
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.155548095703125 × 214)
    floor (0.155548095703125 × 16384)
    floor (2548.5)     		ty = 2548
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 3588 / 2548 ti = "14/3588/2548"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/3588/2548.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3588 ÷ 214
    3588 ÷ 16384     		x = 0.218994140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2548 ÷ 214
    2548 ÷ 16384     		y = 0.155517578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.218994140625 × 2 - 1) × π
    -0.56201171875 × 3.1415926535     		Λ = -1.76561189
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.155517578125 × 2 - 1) × π
    0.68896484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.16444689164478
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.76561189} λ = -1.76561189}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.16444689164478))-π/2
    2×atan(8.70978313049692)-π/2
    2×1.4564834473277-π/2
    2.91296689465539-1.57079632675     		φ = 1.34217057
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.76561189} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -101.162110°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34217057 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.900709°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3588 KachelY 2548 -1.76561189 1.34217057 -101.162110 76.900709
    Oben rechts KachelX + 1 3589 KachelY 2548 -1.76522839 1.34217057 -101.140137 76.900709
    Unten links KachelX 3588 KachelY + 1 2549 -1.76561189 1.34208364 -101.162110 76.895728
    Unten rechts KachelX + 1 3589 KachelY + 1 2549 -1.76522839 1.34208364 -101.140137 76.895728
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34217057-1.34208364) × R
    8.69299999999296e-05 × 6371000     		dl = 553.831029999551m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34217057-1.34208364) × R
    8.69299999999296e-05 × 6371000     		dr = 553.831029999551m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.76561189--1.76522839) × cos(1.34217057) × R
    0.00038349999999987 × 0.226639254256175 × 6371000     		do = 553.742817179958m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.76561189--1.76522839) × cos(1.34208364) × R
    0.00038349999999987 × 0.226723921374387 × 6371000     		du = 553.949682529543m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34217057)-sin(1.34208364))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.226639254256175-0.226723921374387)×R²
    abs(-1.76522839--1.76561189)×8.46671182122005e-05×R²
    0.00038349999999987×8.46671182122005e-05×6371000²
    0.00038349999999987×8.46671182122005e-05×40589641000000     		ar = 306737.239211423m²