Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3588 / 1860
↖ ↑ ↗
← N 69.595890°
W 22.324219°		 ← 1 703.62 m → N 69.595890°
W 22.280273°		 →
↑
1 704.24 m
↓
↑
1 704.24 m
↓
N 69.580564°
W 22.324219°		 ← 1 704.85 m →
2 904 431 m²		 N 69.580564°
W 22.280273°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3588 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1860 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.43804931640625 y=0.22711181640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.43804931640625 × 213)
    floor (0.43804931640625 × 8192)
    floor (3588.5)     		tx = 3588
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.22711181640625 × 213)
    floor (0.22711181640625 × 8192)
    floor (1860.5)     		ty = 1860
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3588 / 1860 ti = "13/3588/1860"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3588/1860.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3588 ÷ 213
    3588 ÷ 8192     		x = 0.43798828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1860 ÷ 213
    1860 ÷ 8192     		y = 0.22705078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43798828125 × 2 - 1) × π
    -0.1240234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.38963112
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.22705078125 × 2 - 1) × π
    0.5458984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.71499052080713
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38963112} λ = -0.38963112}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.71499052080713))-π/2
    2×atan(5.55662283981216)-π/2
    2×1.39273687711114-π/2
    2.78547375422228-1.57079632675     		φ = 1.21467743
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38963112} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.324219°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21467743 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.595890°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3588 KachelY 1860 -0.38963112 1.21467743 -22.324219 69.595890
    Oben rechts KachelX + 1 3589 KachelY 1860 -0.38886413 1.21467743 -22.280273 69.595890
    Unten links KachelX 3588 KachelY + 1 1861 -0.38963112 1.21440993 -22.324219 69.580564
    Unten rechts KachelX + 1 3589 KachelY + 1 1861 -0.38886413 1.21440993 -22.280273 69.580564
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21467743-1.21440993) × R
    0.000267500000000087 × 6371000     		dl = 1704.24250000056m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21467743-1.21440993) × R
    0.000267500000000087 × 6371000     		dr = 1704.24250000056m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38963112--0.38886413) × cos(1.21467743) × R
    0.000766990000000023 × 0.348639277088577 × 6371000     		do = 1703.62348812383m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38963112--0.38886413) × cos(1.21440993) × R
    0.000766990000000023 × 0.348889980855207 × 6371000     		du = 1704.84855039725m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21467743)-sin(1.21440993))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.348639277088577-0.348889980855207)×R²
    abs(-0.38886413--0.38963112)×0.000250703766629556×R²
    0.000766990000000023×0.000250703766629556×6371000²
    0.000766990000000023×0.000250703766629556×40589641000000     		ar = 2904431.47137556m²