Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35879 / 47913
↖ ↑ ↗
← S 63.648698°
E 17.089233°		 ← 271.11 m → S 63.648698°
E 17.094726°		 →
↑
271.09 m
↓
↑
271.09 m
↓
S 63.651136°
E 17.089233°		 ← 271.09 m →
73 492 m²		 S 63.651136°
E 17.094726°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35879 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47913 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.547477722167969 y=0.731101989746094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.547477722167969 × 216)
    floor (0.547477722167969 × 65536)
    floor (35879.5)     		tx = 35879
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.731101989746094 × 216)
    floor (0.731101989746094 × 65536)
    floor (47913.5)     		ty = 47913
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35879 / 47913 ti = "16/35879/47913"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35879/47913.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35879 ÷ 216
    35879 ÷ 65536     		x = 0.547470092773438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47913 ÷ 216
    47913 ÷ 65536     		y = 0.731094360351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.547470092773438 × 2 - 1) × π
    0.094940185546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.29826339
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.731094360351562 × 2 - 1) × π
    -0.462188720703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.4520086894915
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.29826339} λ = 0.29826339}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.4520086894915))-π/2
    2×atan(0.234099582130415)-π/2
    2×0.229958494797941-π/2
    0.459916989595881-1.57079632675     		φ = -1.11087934
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.29826339} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 17.089233°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11087934 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.648698°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35879 KachelY 47913 0.29826339 -1.11087934 17.089233 -63.648698
    Oben rechts KachelX + 1 35880 KachelY 47913 0.29835926 -1.11087934 17.094726 -63.648698
    Unten links KachelX 35879 KachelY + 1 47914 0.29826339 -1.11092189 17.089233 -63.651136
    Unten rechts KachelX + 1 35880 KachelY + 1 47914 0.29835926 -1.11092189 17.094726 -63.651136
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11087934--1.11092189) × R
    4.25499999998635e-05 × 6371000     		dl = 271.086049999131m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11087934--1.11092189) × R
    4.25499999998635e-05 × 6371000     		dr = 271.086049999131m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.29826339-0.29835926) × cos(-1.11087934) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.443873721246179 × 6371000     		do = 271.112640361549m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.29826339-0.29835926) × cos(-1.11092189) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.443835592242616 × 6371000     		du = 271.089351632491m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11087934)-sin(-1.11092189))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.443873721246179-0.443835592242616)×R²
    abs(0.29835926-0.29826339)×3.81290035627035e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.81290035627035e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.81290035627035e-05×40589641000000     		ar = 73491.6981667271m²