Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35873 / 47745
↖ ↑ ↗
← S 63.236101°
E 17.056275°		 ← 275.05 m → S 63.236101°
E 17.061768°		 →
↑
275.04 m
↓
↑
275.04 m
↓
S 63.238575°
E 17.056275°		 ← 275.02 m →
75 645 m²		 S 63.238575°
E 17.061768°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35873 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47745 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.547386169433594 y=0.728538513183594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.547386169433594 × 216)
    floor (0.547386169433594 × 65536)
    floor (35873.5)     		tx = 35873
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.728538513183594 × 216)
    floor (0.728538513183594 × 65536)
    floor (47745.5)     		ty = 47745
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35873 / 47745 ti = "16/35873/47745"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35873/47745.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35873 ÷ 216
    35873 ÷ 65536     		x = 0.547378540039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47745 ÷ 216
    47745 ÷ 65536     		y = 0.728530883789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.547378540039062 × 2 - 1) × π
    0.094757080078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.29768815
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.728530883789062 × 2 - 1) × π
    -0.457061767578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.43590189121916
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.29768815} λ = 0.29768815}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.43590189121916))-π/2
    2×atan(0.237900706672071)-π/2
    2×0.233559077613314-π/2
    0.467118155226629-1.57079632675     		φ = -1.10367817
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.29768815} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 17.056275°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10367817 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.236101°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35873 KachelY 47745 0.29768815 -1.10367817 17.056275 -63.236101
    Oben rechts KachelX + 1 35874 KachelY 47745 0.29778402 -1.10367817 17.061768 -63.236101
    Unten links KachelX 35873 KachelY + 1 47746 0.29768815 -1.10372134 17.056275 -63.238575
    Unten rechts KachelX + 1 35874 KachelY + 1 47746 0.29778402 -1.10372134 17.061768 -63.238575
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10367817--1.10372134) × R
    4.31700000000923e-05 × 6371000     		dl = 275.036070000588m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10367817--1.10372134) × R
    4.31700000000923e-05 × 6371000     		dr = 275.036070000588m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.29768815-0.29778402) × cos(-1.10367817) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.450315048308691 × 6371000     		do = 275.046924153901m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.29768815-0.29778402) × cos(-1.10372134) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.450276502702783 × 6371000     		du = 275.023380969226m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10367817)-sin(-1.10372134))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.450315048308691-0.450276502702783)×R²
    abs(0.29778402-0.29768815)×3.85456059076028e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.85456059076028e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.85456059076028e-05×40589641000000     		ar = 75644.5874844451m²