Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 3587 / 8706
↖ ↑ ↗
← N 64.158531°
W140.592041°		 ← 532.49 m → N 64.158531°
W140.581055°		 →
↑
532.55 m
↓
↑
532.55 m
↓
N 64.153742°
W140.592041°		 ← 532.58 m →
283 604 m²		 N 64.153742°
W140.581055°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3587 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8706 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.109481811523438 y=0.265701293945312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.109481811523438 × 215)
    floor (0.109481811523438 × 32768)
    floor (3587.5)     		tx = 3587
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.265701293945312 × 215)
    floor (0.265701293945312 × 32768)
    floor (8706.5)     		ty = 8706
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 3587 / 8706 ti = "15/3587/8706"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/3587/8706.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3587 ÷ 215
    3587 ÷ 32768     		x = 0.109466552734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8706 ÷ 215
    8706 ÷ 32768     		y = 0.26568603515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.109466552734375 × 2 - 1) × π
    -0.78106689453125 × 3.1415926535     		Λ = -2.45379402
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.26568603515625 × 2 - 1) × π
    0.4686279296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.47223806113116
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.45379402} λ = -2.45379402}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.47223806113116))-π/2
    2×atan(4.35897989579309)-π/2
    2×1.34528696843797-π/2
    2.69057393687595-1.57079632675     		φ = 1.11977761
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.45379402} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -140.592041°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.11977761 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.158531°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3587 KachelY 8706 -2.45379402 1.11977761 -140.592041 64.158531
    Oben rechts KachelX + 1 3588 KachelY 8706 -2.45360227 1.11977761 -140.581055 64.158531
    Unten links KachelX 3587 KachelY + 1 8707 -2.45379402 1.11969402 -140.592041 64.153742
    Unten rechts KachelX + 1 3588 KachelY + 1 8707 -2.45360227 1.11969402 -140.581055 64.153742
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.11977761-1.11969402) × R
    8.35900000000223e-05 × 6371000     		dl = 532.551890000142m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.11977761-1.11969402) × R
    8.35900000000223e-05 × 6371000     		dr = 532.551890000142m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.45379402--2.45360227) × cos(1.11977761) × R
    0.000191749999999935 × 0.435882608838556 × 6371000     		do = 532.491303349397m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.45379402--2.45360227) × cos(1.11969402) × R
    0.000191749999999935 × 0.435957838610597 × 6371000     		du = 532.583206991691m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.11977761)-sin(1.11969402))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.435882608838556-0.435957838610597)×R²
    abs(-2.45360227--2.45379402)×7.52297720410522e-05×R²
    0.000191749999999935×7.52297720410522e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.52297720410522e-05×40589641000000     		ar = 283603.721901639m²