Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 3587 / 8705
↖ ↑ ↗
← N 64.163319°
W140.592041°		 ← 532.40 m → N 64.163319°
W140.581055°		 →
↑
532.42 m
↓
↑
532.42 m
↓
N 64.158531°
W140.592041°		 ← 532.49 m →
283 487 m²		 N 64.158531°
W140.581055°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3587 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8705 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.109481811523438 y=0.265670776367188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.109481811523438 × 215)
    floor (0.109481811523438 × 32768)
    floor (3587.5)     		tx = 3587
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.265670776367188 × 215)
    floor (0.265670776367188 × 32768)
    floor (8705.5)     		ty = 8705
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 3587 / 8705 ti = "15/3587/8705"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/3587/8705.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3587 ÷ 215
    3587 ÷ 32768     		x = 0.109466552734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8705 ÷ 215
    8705 ÷ 32768     		y = 0.265655517578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.109466552734375 × 2 - 1) × π
    -0.78106689453125 × 3.1415926535     		Λ = -2.45379402
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.265655517578125 × 2 - 1) × π
    0.46868896484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.47242980872964
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.45379402} λ = -2.45379402}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.47242980872964))-π/2
    2×atan(4.35981579985867)-π/2
    2×1.34532875455396-π/2
    2.69065750910792-1.57079632675     		φ = 1.11986118
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.45379402} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -140.592041°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.11986118 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.163319°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3587 KachelY 8705 -2.45379402 1.11986118 -140.592041 64.163319
    Oben rechts KachelX + 1 3588 KachelY 8705 -2.45360227 1.11986118 -140.581055 64.163319
    Unten links KachelX 3587 KachelY + 1 8706 -2.45379402 1.11977761 -140.592041 64.158531
    Unten rechts KachelX + 1 3588 KachelY + 1 8706 -2.45360227 1.11977761 -140.581055 64.158531
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.11986118-1.11977761) × R
    8.35699999999218e-05 × 6371000     		dl = 532.424469999502m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.11986118-1.11977761) × R
    8.35699999999218e-05 × 6371000     		dr = 532.424469999502m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.45379402--2.45360227) × cos(1.11986118) × R
    0.000191749999999935 × 0.435807394021677 × 6371000     		do = 532.399417976916m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.45379402--2.45360227) × cos(1.11977761) × R
    0.000191749999999935 × 0.435882608838556 × 6371000     		du = 532.491303349397m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.11986118)-sin(1.11977761))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.435807394021677-0.435882608838556)×R²
    abs(-2.45360227--2.45379402)×7.52148168791655e-05×R²
    0.000191749999999935×7.52148168791655e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.52148168791655e-05×40589641000000     		ar = 283486.939119751m²