Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35867 / 47875
↖ ↑ ↗
← S 63.555892°
E 17.023315°		 ← 272.03 m → S 63.555892°
E 17.028809°		 →
↑
272.04 m
↓
↑
272.04 m
↓
S 63.558338°
E 17.023315°		 ← 272 m →
74 000 m²		 S 63.558338°
E 17.028809°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35867 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47875 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.547294616699219 y=0.730522155761719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.547294616699219 × 216)
    floor (0.547294616699219 × 65536)
    floor (35867.5)     		tx = 35867
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.730522155761719 × 216)
    floor (0.730522155761719 × 65536)
    floor (47875.5)     		ty = 47875
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35867 / 47875 ti = "16/35867/47875"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35867/47875.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35867 ÷ 216
    35867 ÷ 65536     		x = 0.547286987304688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47875 ÷ 216
    47875 ÷ 65536     		y = 0.730514526367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.547286987304688 × 2 - 1) × π
    0.094573974609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.29711290
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.730514526367188 × 2 - 1) × π
    -0.461029052734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.44836548512038
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.29711290} λ = 0.29711290}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44836548512038))-π/2
    2×atan(0.234954010234348)-π/2
    2×0.230768377056316-π/2
    0.461536754112632-1.57079632675     		φ = -1.10925957
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.29711290} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 17.023315°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10925957 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.555892°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35867 KachelY 47875 0.29711290 -1.10925957 17.023315 -63.555892
    Oben rechts KachelX + 1 35868 KachelY 47875 0.29720878 -1.10925957 17.028809 -63.555892
    Unten links KachelX 35867 KachelY + 1 47876 0.29711290 -1.10930227 17.023315 -63.558338
    Unten rechts KachelX + 1 35868 KachelY + 1 47876 0.29720878 -1.10930227 17.028809 -63.558338
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10925957--1.10930227) × R
    4.26999999998401e-05 × 6371000     		dl = 272.041699998981m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10925957--1.10930227) × R
    4.26999999998401e-05 × 6371000     		dr = 272.041699998981m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.29711290-0.29720878) × cos(-1.10925957) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.445324596969096 × 6371000     		do = 272.027189138955m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.29711290-0.29720878) × cos(-1.10930227) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.445286364298313 × 6371000     		du = 272.003834655423m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10925957)-sin(-1.10930227))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.445324596969096-0.445286364298313)×R²
    abs(0.29720878-0.29711290)×3.82326707829006e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.82326707829006e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.82326707829006e-05×40589641000000     		ar = 73999.5622937962m²