Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35860 / 47771
↖ ↑ ↗
← S 63.300345°
E 16.984863°		 ← 274.44 m → S 63.300345°
E 16.990356°		 →
↑
274.46 m
↓
↑
274.46 m
↓
S 63.302813°
E 16.984863°		 ← 274.41 m →
75 319 m²		 S 63.302813°
E 16.990356°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35860 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47771 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.547187805175781 y=0.728935241699219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.547187805175781 × 216)
    floor (0.547187805175781 × 65536)
    floor (35860.5)     		tx = 35860
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.728935241699219 × 216)
    floor (0.728935241699219 × 65536)
    floor (47771.5)     		ty = 47771
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35860 / 47771 ti = "16/35860/47771"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35860/47771.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35860 ÷ 216
    35860 ÷ 65536     		x = 0.54718017578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47771 ÷ 216
    47771 ÷ 65536     		y = 0.728927612304688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.54718017578125 × 2 - 1) × π
    0.0943603515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.29644179
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.728927612304688 × 2 - 1) × π
    -0.457855224609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.4383946099994
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.29644179} λ = 0.29644179}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.4383946099994))-π/2
    2×atan(0.23730842561446)-π/2
    2×0.23299844746492-π/2
    0.465996894929839-1.57079632675     		φ = -1.10479943
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.29644179} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.984863°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10479943 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.300345°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35860 KachelY 47771 0.29644179 -1.10479943 16.984863 -63.300345
    Oben rechts KachelX + 1 35861 KachelY 47771 0.29653766 -1.10479943 16.990356 -63.300345
    Unten links KachelX 35860 KachelY + 1 47772 0.29644179 -1.10484251 16.984863 -63.302813
    Unten rechts KachelX + 1 35861 KachelY + 1 47772 0.29653766 -1.10484251 16.990356 -63.302813
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10479943--1.10484251) × R
    4.30800000001952e-05 × 6371000     		dl = 274.462680001244m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10479943--1.10484251) × R
    4.30800000001952e-05 × 6371000     		dr = 274.462680001244m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.29644179-0.29653766) × cos(-1.10479943) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.449313626330016 × 6371000     		do = 274.435267856718m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.29644179-0.29653766) × cos(-1.10484251) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.449275139357281 × 6371000     		du = 274.411760484467m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10479943)-sin(-1.10484251))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.449313626330016-0.449275139357281)×R²
    abs(0.29653766-0.29644179)×3.84869727352855e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.84869727352855e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.84869727352855e-05×40589641000000     		ar = 75319.0131660749m²