Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 3586 / 1861
↖ ↑ ↗
← N 69.580564°
W 22.412109°		 ← 1 704.85 m → N 69.580564°
W 22.368164°		 →
↑
1 705.45 m
↓
↑
1 705.45 m
↓
N 69.565226°
W 22.412109°		 ← 1 706.07 m →
2 908 584 m²		 N 69.565226°
W 22.368164°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3586 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1861 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.43780517578125 y=0.22723388671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.43780517578125 × 213)
    floor (0.43780517578125 × 8192)
    floor (3586.5)     		tx = 3586
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.22723388671875 × 213)
    floor (0.22723388671875 × 8192)
    floor (1861.5)     		ty = 1861
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3586 / 1861 ti = "13/3586/1861"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3586/1861.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3586 ÷ 213
    3586 ÷ 8192     		x = 0.437744140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1861 ÷ 213
    1861 ÷ 8192     		y = 0.2271728515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.437744140625 × 2 - 1) × π
    -0.12451171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.39116510
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2271728515625 × 2 - 1) × π
    0.545654296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.71422353041321
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39116510} λ = -0.39116510}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.71422353041321))-π/2
    2×atan(5.55236259746271)-π/2
    2×1.39260312755526-π/2
    2.78520625511051-1.57079632675     		φ = 1.21440993
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39116510} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.412109°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21440993 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.580564°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3586 KachelY 1861 -0.39116510 1.21440993 -22.412109 69.580564
    Oben rechts KachelX + 1 3587 KachelY 1861 -0.39039811 1.21440993 -22.368164 69.580564
    Unten links KachelX 3586 KachelY + 1 1862 -0.39116510 1.21414224 -22.412109 69.565226
    Unten rechts KachelX + 1 3587 KachelY + 1 1862 -0.39039811 1.21414224 -22.368164 69.565226
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21440993-1.21414224) × R
    0.000267690000000043 × 6371000     		dl = 1705.45299000027m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21440993-1.21414224) × R
    0.000267690000000043 × 6371000     		dr = 1705.45299000027m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39116510--0.39039811) × cos(1.21440993) × R
    0.000766989999999967 × 0.348889980855207 × 6371000     		do = 1704.84855039712m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39116510--0.39039811) × cos(1.21414224) × R
    0.000766989999999967 × 0.349140837699934 × 6371000     		du = 1706.07436068563m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21440993)-sin(1.21414224))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.348889980855207-0.349140837699934)×R²
    abs(-0.39039811--0.39116510)×0.000250856844727088×R²
    0.000766989999999967×0.000250856844727088×6371000²
    0.000766989999999967×0.000250856844727088×40589641000000     		ar = 2908584.35605101m²