Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35859 / 47765
↖ ↑ ↗
← S 63.285532°
E 16.979370°		 ← 274.60 m → S 63.285532°
E 16.984863°		 →
↑
274.59 m
↓
↑
274.59 m
↓
S 63.288001°
E 16.979370°		 ← 274.58 m →
75 401 m²		 S 63.288001°
E 16.984863°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35859 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47765 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.547172546386719 y=0.728843688964844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.547172546386719 × 216)
    floor (0.547172546386719 × 65536)
    floor (35859.5)     		tx = 35859
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.728843688964844 × 216)
    floor (0.728843688964844 × 65536)
    floor (47765.5)     		ty = 47765
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35859 / 47765 ti = "16/35859/47765"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35859/47765.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35859 ÷ 216
    35859 ÷ 65536     		x = 0.547164916992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47765 ÷ 216
    47765 ÷ 65536     		y = 0.728836059570312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.547164916992188 × 2 - 1) × π
    0.094329833984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.29634591
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.728836059570312 × 2 - 1) × π
    -0.457672119140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.43781936720396
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.29634591} λ = 0.29634591}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.43781936720396))-π/2
    2×atan(0.237444974847308)-π/2
    2×0.233127712888579-π/2
    0.466255425777159-1.57079632675     		φ = -1.10454090
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.29634591} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.979370°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10454090 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.285532°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35859 KachelY 47765 0.29634591 -1.10454090 16.979370 -63.285532
    Oben rechts KachelX + 1 35860 KachelY 47765 0.29644179 -1.10454090 16.984863 -63.285532
    Unten links KachelX 35859 KachelY + 1 47766 0.29634591 -1.10458400 16.979370 -63.288001
    Unten rechts KachelX + 1 35860 KachelY + 1 47766 0.29644179 -1.10458400 16.984863 -63.288001
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10454090--1.10458400) × R
    4.31000000000736e-05 × 6371000     		dl = 274.590100000469m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10454090--1.10458400) × R
    4.31000000000736e-05 × 6371000     		dr = 274.590100000469m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.29634591-0.29644179) × cos(-1.10454090) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.449544575315447 × 6371000     		do = 274.604969157391m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.29634591-0.29644179) × cos(-1.10458400) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.449506075482456 × 6371000     		du = 274.581451477429m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10454090)-sin(-1.10458400))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.449544575315447-0.449506075482456)×R²
    abs(0.29644179-0.29634591)×3.84998329906461e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.84998329906461e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.84998329906461e-05×40589641000000     		ar = 75400.577091967m²