Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35846 / 31541
↖ ↑ ↗
← N  6.724621°
E 16.907959°		 ← 606.65 m → N  6.724621°
E 16.913452°		 →
↑
606.65 m
↓
↑
606.65 m
↓
N  6.719165°
E 16.907959°		 ← 606.66 m →
368 024 m²		 N  6.719165°
E 16.913452°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35846 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31541 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.546974182128906 y=0.481285095214844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.546974182128906 × 216)
    floor (0.546974182128906 × 65536)
    floor (35846.5)     		tx = 35846
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.481285095214844 × 216)
    floor (0.481285095214844 × 65536)
    floor (31541.5)     		ty = 31541
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35846 / 31541 ti = "16/35846/31541"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35846/31541.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35846 ÷ 216
    35846 ÷ 65536     		x = 0.546966552734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31541 ÷ 216
    31541 ÷ 65536     		y = 0.481277465820312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.546966552734375 × 2 - 1) × π
    0.09393310546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.29509955
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.481277465820312 × 2 - 1) × π
    0.037445068359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.117637151667618
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.29509955} λ = 0.29509955}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.117637151667618))-π/2
    2×atan(1.12483589248326)-π/2
    2×0.84408154654779-π/2
    1.68816309309558-1.57079632675     		φ = 0.11736677
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.29509955} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.907959°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.11736677 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 6.724621°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35846 KachelY 31541 0.29509955 0.11736677 16.907959 6.724621
    Oben rechts KachelX + 1 35847 KachelY 31541 0.29519543 0.11736677 16.913452 6.724621
    Unten links KachelX 35846 KachelY + 1 31542 0.29509955 0.11727155 16.907959 6.719165
    Unten rechts KachelX + 1 35847 KachelY + 1 31542 0.29519543 0.11727155 16.913452 6.719165
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.11736677-0.11727155) × R
    9.52199999999931e-05 × 6371000     		dl = 606.646619999956m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.11736677-0.11727155) × R
    9.52199999999931e-05 × 6371000     		dr = 606.646619999956m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.29509955-0.29519543) × cos(0.11736677) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.993120423249144 × 6371000     		do = 606.649080359919m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.29509955-0.29519543) × cos(0.11727155) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.993131568771011 × 6371000     		du = 606.655888618447m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.11736677)-sin(0.11727155))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.993120423249144-0.993131568771011)×R²
    abs(0.29519543-0.29509955)×1.11455218674283e-05×R²
    9.58799999999926e-05×1.11455218674283e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×1.11455218674283e-05×40589641000000     		ar = 368023.679508032m²