Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 35842 / 23554
↖ ↑ ↗
← N 74.774400°
W 81.557007°		 ← 80.21 m → N 74.774400°
W 81.554260°		 →
↑
80.21 m
↓
↑
80.21 m
↓
N 74.773679°
W 81.557007°		 ← 80.21 m →
6 434 m²		 N 74.773679°
W 81.554260°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35842 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23554 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.273456573486328 y=0.179706573486328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.273456573486328 × 217)
    floor (0.273456573486328 × 131072)
    floor (35842.5)     		tx = 35842
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.179706573486328 × 217)
    floor (0.179706573486328 × 131072)
    floor (23554.5)     		ty = 23554
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 35842 / 23554 ti = "17/35842/23554"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/35842/23554.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35842 ÷ 217
    35842 ÷ 131072     		x = 0.273452758789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23554 ÷ 217
    23554 ÷ 131072     		y = 0.179702758789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.273452758789062 × 2 - 1) × π
    -0.453094482421875 × 3.1415926535     		Λ = -1.42343830
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.179702758789062 × 2 - 1) × π
    0.640594482421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.0124869198492
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.42343830} λ = -1.42343830}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.0124869198492))-π/2
    2×atan(7.48190111796712)-π/2
    2×1.43792790547718-π/2
    2.87585581095436-1.57079632675     		φ = 1.30505948
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.42343830} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.557007°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.30505948 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 74.774400°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35842 KachelY 23554 -1.42343830 1.30505948 -81.557007 74.774400
    Oben rechts KachelX + 1 35843 KachelY 23554 -1.42339036 1.30505948 -81.554260 74.774400
    Unten links KachelX 35842 KachelY + 1 23555 -1.42343830 1.30504689 -81.557007 74.773679
    Unten rechts KachelX + 1 35843 KachelY + 1 23555 -1.42339036 1.30504689 -81.554260 74.773679
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.30505948-1.30504689) × R
    1.2589999999868e-05 × 6371000     		dl = 80.2108899991589m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.30505948-1.30504689) × R
    1.2589999999868e-05 × 6371000     		dr = 80.2108899991589m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.42343830--1.42339036) × cos(1.30505948) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.262620322300303 × 6371000     		do = 80.2110062775559m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.42343830--1.42339036) × cos(1.30504689) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.26263247036107 × 6371000     		du = 80.2147166080053m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.30505948)-sin(1.30504689))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.262620322300303-0.26263247036107)×R²
    abs(-1.42339036--1.42343830)×1.21480607672142e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.21480607672142e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.21480607672142e-05×40589641000000     		ar = 6433.94500585187m²