Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 3584 / 2549
↖ ↑ ↗
← N 76.895728°
W101.250000°		 ← 553.95 m → N 76.895728°
W101.228027°		 →
↑
554.09 m
↓
↑
554.09 m
↓
N 76.890745°
W101.250000°		 ← 554.16 m →
306 993 m²		 N 76.890745°
W101.228027°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3584 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2549 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.218780517578125 y=0.155609130859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.218780517578125 × 214)
    floor (0.218780517578125 × 16384)
    floor (3584.5)     		tx = 3584
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.155609130859375 × 214)
    floor (0.155609130859375 × 16384)
    floor (2549.5)     		ty = 2549
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 3584 / 2549 ti = "14/3584/2549"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/3584/2549.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3584 ÷ 214
    3584 ÷ 16384     		x = 0.21875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2549 ÷ 214
    2549 ÷ 16384     		y = 0.15557861328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.21875 × 2 - 1) × π
    -0.5625 × 3.1415926535     		Λ = -1.76714587
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15557861328125 × 2 - 1) × π
    0.6888427734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.16406339644782
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.76714587} λ = -1.76714587}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.16406339644782))-π/2
    2×atan(8.7064436108856)-π/2
    2×1.45643998167757-π/2
    2.91287996335514-1.57079632675     		φ = 1.34208364
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.76714587} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -101.250000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34208364 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.895728°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3584 KachelY 2549 -1.76714587 1.34208364 -101.250000 76.895728
    Oben rechts KachelX + 1 3585 KachelY 2549 -1.76676237 1.34208364 -101.228027 76.895728
    Unten links KachelX 3584 KachelY + 1 2550 -1.76714587 1.34199667 -101.250000 76.890745
    Unten rechts KachelX + 1 3585 KachelY + 1 2550 -1.76676237 1.34199667 -101.228027 76.890745
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34208364-1.34199667) × R
    8.69700000001306e-05 × 6371000     		dl = 554.085870000832m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34208364-1.34199667) × R
    8.69700000001306e-05 × 6371000     		dr = 554.085870000832m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.76714587--1.76676237) × cos(1.34208364) × R
    0.000383500000000092 × 0.226723921374387 × 6371000     		do = 553.949682529864m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.76714587--1.76676237) × cos(1.34199667) × R
    0.000383500000000092 × 0.226808625736861 × 6371000     		du = 554.156638877551m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34208364)-sin(1.34199667))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.226723921374387-0.226808625736861)×R²
    abs(-1.76676237--1.76714587)×8.47043624733756e-05×R²
    0.000383500000000092×8.47043624733756e-05×6371000²
    0.000383500000000092×8.47043624733756e-05×40589641000000     		ar = 306993.027769119m²