Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 3583 / 3582
↖ ↑ ↗
← N 70.627196°
W101.271972°		 ← 810.45 m → N 70.627196°
W101.250000°		 →
↑
810.58 m
↓
↑
810.58 m
↓
N 70.619907°
W101.271972°		 ← 810.74 m →
657 053 m²		 N 70.619907°
W101.250000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3583 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3582 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.218719482421875 y=0.218658447265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.218719482421875 × 214)
    floor (0.218719482421875 × 16384)
    floor (3583.5)     		tx = 3583
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.218658447265625 × 214)
    floor (0.218658447265625 × 16384)
    floor (3582.5)     		ty = 3582
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 3583 / 3582 ti = "14/3583/3582"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/3583/3582.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3583 ÷ 214
    3583 ÷ 16384     		x = 0.21868896484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3582 ÷ 214
    3582 ÷ 16384     		y = 0.2186279296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.21868896484375 × 2 - 1) × π
    -0.5626220703125 × 3.1415926535     		Λ = -1.76752936
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2186279296875 × 2 - 1) × π
    0.562744140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.76791285798767
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.76752936} λ = -1.76752936}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.76791285798767))-π/2
    2×atan(5.85861283498576)-π/2
    2×1.40173672585325-π/2
    2.80347345170649-1.57079632675     		φ = 1.23267712
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.76752936} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -101.271972°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23267712 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.627196°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3583 KachelY 3582 -1.76752936 1.23267712 -101.271972 70.627196
    Oben rechts KachelX + 1 3584 KachelY 3582 -1.76714587 1.23267712 -101.250000 70.627196
    Unten links KachelX 3583 KachelY + 1 3583 -1.76752936 1.23254989 -101.271972 70.619907
    Unten rechts KachelX + 1 3584 KachelY + 1 3583 -1.76714587 1.23254989 -101.250000 70.619907
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23267712-1.23254989) × R
    0.000127229999999923 × 6371000     		dl = 810.582329999507m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23267712-1.23254989) × R
    0.000127229999999923 × 6371000     		dr = 810.582329999507m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.76752936--1.76714587) × cos(1.23267712) × R
    0.000383489999999931 × 0.331713376781556 × 6371000     		do = 810.447028193393m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.76752936--1.76714587) × cos(1.23254989) × R
    0.000383489999999931 × 0.331833400361564 × 6371000     		du = 810.740271579218m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23267712)-sin(1.23254989))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.331713376781556-0.331833400361564)×R²
    abs(-1.76714587--1.76752936)×0.000120023580008233×R²
    0.000383489999999931×0.000120023580008233×6371000²
    0.000383489999999931×0.000120023580008233×40589641000000     		ar = 657052.890293968m²