Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 3583 / 2651
↖ ↑ ↗
← N 53.461890°
W 22.543945°		 ← 2 909.21 m → N 53.461890°
W 22.500000°		 →
↑
2 910.08 m
↓
↑
2 910.08 m
↓
N 53.435719°
W 22.543945°		 ← 2 911 m →
8 468 647 m²		 N 53.435719°
W 22.500000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3583 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2651 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.43743896484375 y=0.32366943359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.43743896484375 × 213)
    floor (0.43743896484375 × 8192)
    floor (3583.5)     		tx = 3583
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.32366943359375 × 213)
    floor (0.32366943359375 × 8192)
    floor (2651.5)     		ty = 2651
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3583 / 2651 ti = "13/3583/2651"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3583/2651.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3583 ÷ 213
    3583 ÷ 8192     		x = 0.4373779296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2651 ÷ 213
    2651 ÷ 8192     		y = 0.3236083984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4373779296875 × 2 - 1) × π
    -0.125244140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.39346607
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3236083984375 × 2 - 1) × π
    0.352783203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.1083011192157
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39346607} λ = -0.39346607}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.1083011192157))-π/2
    2×atan(3.02920775766441)-π/2
    2×1.25194116958494-π/2
    2.50388233916989-1.57079632675     		φ = 0.93308601
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39346607} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.543945°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93308601 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.461890°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3583 KachelY 2651 -0.39346607 0.93308601 -22.543945 53.461890
    Oben rechts KachelX + 1 3584 KachelY 2651 -0.39269908 0.93308601 -22.500000 53.461890
    Unten links KachelX 3583 KachelY + 1 2652 -0.39346607 0.93262924 -22.543945 53.435719
    Unten rechts KachelX + 1 3584 KachelY + 1 2652 -0.39269908 0.93262924 -22.500000 53.435719
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93308601-0.93262924) × R
    0.000456769999999995 × 6371000     		dl = 2910.08166999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93308601-0.93262924) × R
    0.000456769999999995 × 6371000     		dr = 2910.08166999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39346607--0.39269908) × cos(0.93308601) × R
    0.000766990000000023 × 0.595357332338995 × 6371000     		do = 2909.20960962689m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39346607--0.39269908) × cos(0.93262924) × R
    0.000766990000000023 × 0.595724267119292 × 6371000     		du = 2911.00263396867m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93308601)-sin(0.93262924))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.595357332338995-0.595724267119292)×R²
    abs(-0.39269908--0.39346607)×0.000366934780296924×R²
    0.000766990000000023×0.000366934780296924×6371000²
    0.000766990000000023×0.000366934780296924×40589641000000     		ar = 8468646.63004097m²