Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 35821 / 31553
↖ ↑ ↗
← N  6.659152°
E 16.770630°		 ← 606.67 m → N  6.659152°
E 16.776123°		 →
↑
606.71 m
↓
↑
606.71 m
↓
N  6.653695°
E 16.770630°		 ← 606.67 m →
368 073 m²		 N  6.653695°
E 16.776123°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35821 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31553 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.546592712402344 y=0.481468200683594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.546592712402344 × 216)
    floor (0.546592712402344 × 65536)
    floor (35821.5)     		tx = 35821
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.481468200683594 × 216)
    floor (0.481468200683594 × 65536)
    floor (31553.5)     		ty = 31553
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35821 / 31553 ti = "16/35821/31553"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35821/31553.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35821 ÷ 216
    35821 ÷ 65536     		x = 0.546585083007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31553 ÷ 216
    31553 ÷ 65536     		y = 0.481460571289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.546585083007812 × 2 - 1) × π
    0.093170166015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.29270271
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.481460571289062 × 2 - 1) × π
    0.037078857421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.116486666076736
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.29270271} λ = 0.29270271}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.116486666076736))-π/2
    2×atan(1.12354252913746)-π/2
    2×0.843510222820162-π/2
    1.68702044564032-1.57079632675     		φ = 0.11622412
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.29270271} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.770630°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.11622412 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 6.659152°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35821 KachelY 31553 0.29270271 0.11622412 16.770630 6.659152
    Oben rechts KachelX + 1 35822 KachelY 31553 0.29279858 0.11622412 16.776123 6.659152
    Unten links KachelX 35821 KachelY + 1 31554 0.29270271 0.11612889 16.770630 6.653695
    Unten rechts KachelX + 1 35822 KachelY + 1 31554 0.29279858 0.11612889 16.776123 6.653695
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.11622412-0.11612889) × R
    9.52300000000017e-05 × 6371000     		dl = 606.710330000011m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.11622412-0.11612889) × R
    9.52300000000017e-05 × 6371000     		dr = 606.710330000011m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.29270271-0.29279858) × cos(0.11622412) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.993253576347163 × 6371000     		do = 606.667136941595m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.29270271-0.29279858) × cos(0.11612889) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.993264614965239 × 6371000     		du = 606.673879194513m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.11622412)-sin(0.11612889))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.993253576347163-0.993264614965239)×R²
    abs(0.29279858-0.29270271)×1.10386180754984e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.10386180754984e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.10386180754984e-05×40589641000000     		ar = 368073.264429376m²