Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 3582 / 3590
↖ ↑ ↗
← N 70.568803°
W101.293945°		 ← 812.82 m → N 70.568803°
W101.271972°		 →
↑
813 m
↓
↑
813 m
↓
N 70.561492°
W101.293945°		 ← 813.11 m →
660 942 m²		 N 70.561492°
W101.271972°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3582 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3590 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.218658447265625 y=0.219146728515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.218658447265625 × 214)
    floor (0.218658447265625 × 16384)
    floor (3582.5)     		tx = 3582
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.219146728515625 × 214)
    floor (0.219146728515625 × 16384)
    floor (3590.5)     		ty = 3590
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 3582 / 3590 ti = "14/3582/3590"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/3582/3590.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3582 ÷ 214
    3582 ÷ 16384     		x = 0.2186279296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3590 ÷ 214
    3590 ÷ 16384     		y = 0.2191162109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2186279296875 × 2 - 1) × π
    -0.562744140625 × 3.1415926535     		Λ = -1.76791286
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2191162109375 × 2 - 1) × π
    0.561767578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.76484489641199
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.76791286} λ = -1.76791286}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.76484489641199))-π/2
    2×atan(5.8406663795157)-π/2
    2×1.40122714693156-π/2
    2.80245429386312-1.57079632675     		φ = 1.23165797
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.76791286} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -101.293945°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23165797 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.568803°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3582 KachelY 3590 -1.76791286 1.23165797 -101.293945 70.568803
    Oben rechts KachelX + 1 3583 KachelY 3590 -1.76752936 1.23165797 -101.271972 70.568803
    Unten links KachelX 3582 KachelY + 1 3591 -1.76791286 1.23153036 -101.293945 70.561492
    Unten rechts KachelX + 1 3583 KachelY + 1 3591 -1.76752936 1.23153036 -101.271972 70.561492
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23165797-1.23153036) × R
    0.000127610000000056 × 6371000     		dl = 813.003310000355m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23165797-1.23153036) × R
    0.000127610000000056 × 6371000     		dr = 813.003310000355m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.76791286--1.76752936) × cos(1.23165797) × R
    0.000383500000000092 × 0.332674650294458 × 6371000     		do = 812.816820559664m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.76791286--1.76752936) × cos(1.23153036) × R
    0.000383500000000092 × 0.332794989131984 × 6371000     		du = 813.110841854105m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23165797)-sin(1.23153036))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.332674650294458-0.332794989131984)×R²
    abs(-1.76752936--1.76791286)×0.00012033883752538×R²
    0.000383500000000092×0.00012033883752538×6371000²
    0.000383500000000092×0.00012033883752538×40589641000000     		ar = 660942.286578412m²