Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35818 / 31551
↖ ↑ ↗
← N  6.670064°
E 16.754151°		 ← 606.65 m → N  6.670064°
E 16.759643°		 →
↑
606.65 m
↓
↑
606.65 m
↓
N  6.664608°
E 16.754151°		 ← 606.66 m →
368 026 m²		 N  6.664608°
E 16.759643°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35818 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31551 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.546546936035156 y=0.481437683105469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.546546936035156 × 216)
    floor (0.546546936035156 × 65536)
    floor (35818.5)     		tx = 35818
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.481437683105469 × 216)
    floor (0.481437683105469 × 65536)
    floor (31551.5)     		ty = 31551
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35818 / 31551 ti = "16/35818/31551"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35818/31551.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35818 ÷ 216
    35818 ÷ 65536     		x = 0.546539306640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31551 ÷ 216
    31551 ÷ 65536     		y = 0.481430053710938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.546539306640625 × 2 - 1) × π
    0.09307861328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.29241509
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.481430053710938 × 2 - 1) × π
    0.037139892578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.116678413675217
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.29241509} λ = 0.29241509}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.116678413675217))-π/2
    2×atan(1.12375798637525)-π/2
    2×0.843605448754867-π/2
    1.68721089750973-1.57079632675     		φ = 0.11641457
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.29241509} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.754151°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.11641457 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 6.670064°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35818 KachelY 31551 0.29241509 0.11641457 16.754151 6.670064
    Oben rechts KachelX + 1 35819 KachelY 31551 0.29251096 0.11641457 16.759643 6.670064
    Unten links KachelX 35818 KachelY + 1 31552 0.29241509 0.11631935 16.754151 6.664608
    Unten rechts KachelX + 1 35819 KachelY + 1 31552 0.29251096 0.11631935 16.759643 6.664608
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.11641457-0.11631935) × R
    9.52199999999931e-05 × 6371000     		dl = 606.646619999956m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.11641457-0.11631935) × R
    9.52199999999931e-05 × 6371000     		dr = 606.646619999956m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.29241509-0.29251096) × cos(0.11641457) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.993231473249917 × 6371000     		do = 606.653636640118m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.29241509-0.29251096) × cos(0.11631935) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.993242528721517 × 6371000     		du = 606.660389186963m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.11641457)-sin(0.11631935))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.993231473249917-0.993242528721517)×R²
    abs(0.29251096-0.29241509)×1.10554715997413e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.10554715997413e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.10554715997413e-05×40589641000000     		ar = 368026.42666133m²