Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35815 / 47801
↖ ↑ ↗
← S 63.374294°
E 16.737671°		 ← 273.73 m → S 63.374294°
E 16.743164°		 →
↑
273.76 m
↓
↑
273.76 m
↓
S 63.376756°
E 16.737671°		 ← 273.71 m →
74 934 m²		 S 63.376756°
E 16.743164°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35815 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47801 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.546501159667969 y=0.729393005371094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.546501159667969 × 216)
    floor (0.546501159667969 × 65536)
    floor (35815.5)     		tx = 35815
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.729393005371094 × 216)
    floor (0.729393005371094 × 65536)
    floor (47801.5)     		ty = 47801
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35815 / 47801 ti = "16/35815/47801"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35815/47801.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35815 ÷ 216
    35815 ÷ 65536     		x = 0.546493530273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47801 ÷ 216
    47801 ÷ 65536     		y = 0.729385375976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.546493530273438 × 2 - 1) × π
    0.092987060546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.29212747
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.729385375976562 × 2 - 1) × π
    -0.458770751953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.44127082397661
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.29212747} λ = 0.29212747}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44127082397661))-π/2
    2×atan(0.236626856443051)-π/2
    2×0.232353116036657-π/2
    0.464706232073314-1.57079632675     		φ = -1.10609009
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.29212747} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.737671°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10609009 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.374294°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35815 KachelY 47801 0.29212747 -1.10609009 16.737671 -63.374294
    Oben rechts KachelX + 1 35816 KachelY 47801 0.29222334 -1.10609009 16.743164 -63.374294
    Unten links KachelX 35815 KachelY + 1 47802 0.29212747 -1.10613306 16.737671 -63.376756
    Unten rechts KachelX + 1 35816 KachelY + 1 47802 0.29222334 -1.10613306 16.743164 -63.376756
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10609009--1.10613306) × R
    4.29699999999755e-05 × 6371000     		dl = 273.761869999844m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10609009--1.10613306) × R
    4.29699999999755e-05 × 6371000     		dr = 273.761869999844m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.29212747-0.29222334) × cos(-1.10609009) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.448160210212777 × 6371000     		do = 273.730775398587m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.29212747-0.29222334) × cos(-1.10613306) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.448121796627583 × 6371000     		du = 273.707312850549m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10609009)-sin(-1.10613306))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.448160210212777-0.448121796627583)×R²
    abs(0.29222334-0.29212747)×3.84135851944079e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.84135851944079e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.84135851944079e-05×40589641000000     		ar = 74933.837385508m²