Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35813 / 31566
↖ ↑ ↗
← N  6.588217°
E 16.726685°		 ← 606.75 m → N  6.588217°
E 16.732178°		 →
↑
606.77 m
↓
↑
606.77 m
↓
N  6.582760°
E 16.726685°		 ← 606.76 m →
368 165 m²		 N  6.582760°
E 16.732178°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35813 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31566 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.546470642089844 y=0.481666564941406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.546470642089844 × 216)
    floor (0.546470642089844 × 65536)
    floor (35813.5)     		tx = 35813
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.481666564941406 × 216)
    floor (0.481666564941406 × 65536)
    floor (31566.5)     		ty = 31566
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35813 / 31566 ti = "16/35813/31566"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35813/31566.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35813 ÷ 216
    35813 ÷ 65536     		x = 0.546463012695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31566 ÷ 216
    31566 ÷ 65536     		y = 0.481658935546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.546463012695312 × 2 - 1) × π
    0.092926025390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.29193572
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.481658935546875 × 2 - 1) × π
    0.03668212890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.115240306686615
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.29193572} λ = 0.29193572}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.115240306686615))-π/2
    2×atan(1.1221430636557)-π/2
    2×0.842891202784616-π/2
    1.68578240556923-1.57079632675     		φ = 0.11498608
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.29193572} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.726685°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.11498608 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 6.588217°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35813 KachelY 31566 0.29193572 0.11498608 16.726685 6.588217
    Oben rechts KachelX + 1 35814 KachelY 31566 0.29203159 0.11498608 16.732178 6.588217
    Unten links KachelX 35813 KachelY + 1 31567 0.29193572 0.11489084 16.726685 6.582760
    Unten rechts KachelX + 1 35814 KachelY + 1 31567 0.29203159 0.11489084 16.732178 6.582760
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.11498608-0.11489084) × R
    9.52400000000103e-05 × 6371000     		dl = 606.774040000066m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.11498608-0.11489084) × R
    9.52400000000103e-05 × 6371000     		dr = 606.774040000066m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.29193572-0.29203159) × cos(0.11498608) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.993396381491875 × 6371000     		do = 606.754360577478m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.29193572-0.29203159) × cos(0.11489084) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.993407304144097 × 6371000     		du = 606.761031999871m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.11498608)-sin(0.11489084))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.993396381491875-0.993407304144097)×R²
    abs(0.29203159-0.29193572)×1.09226522219119e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.09226522219119e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.09226522219119e-05×40589641000000     		ar = 368164.818956462m²