Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35812 / 31565
↖ ↑ ↗
← N  6.593674°
E 16.721191°		 ← 606.81 m → N  6.593674°
E 16.726685°		 →
↑
606.77 m
↓
↑
606.77 m
↓
N  6.588217°
E 16.721191°		 ← 606.82 m →
368 199 m²		 N  6.588217°
E 16.726685°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35812 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31565 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.546455383300781 y=0.481651306152344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.546455383300781 × 216)
    floor (0.546455383300781 × 65536)
    floor (35812.5)     		tx = 35812
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.481651306152344 × 216)
    floor (0.481651306152344 × 65536)
    floor (31565.5)     		ty = 31565
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35812 / 31565 ti = "16/35812/31565"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35812/31565.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35812 ÷ 216
    35812 ÷ 65536     		x = 0.54644775390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31565 ÷ 216
    31565 ÷ 65536     		y = 0.481643676757812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.54644775390625 × 2 - 1) × π
    0.0928955078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.29183984
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.481643676757812 × 2 - 1) × π
    0.036712646484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.115336180485855
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.29183984} λ = 0.29183984}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.115336180485855))-π/2
    2×atan(1.12225065293192)-π/2
    2×0.842938822865266-π/2
    1.68587764573053-1.57079632675     		φ = 0.11508132
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.29183984} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.721191°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.11508132 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 6.593674°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35812 KachelY 31565 0.29183984 0.11508132 16.721191 6.593674
    Oben rechts KachelX + 1 35813 KachelY 31565 0.29193572 0.11508132 16.726685 6.593674
    Unten links KachelX 35812 KachelY + 1 31566 0.29183984 0.11498608 16.721191 6.588217
    Unten rechts KachelX + 1 35813 KachelY + 1 31566 0.29193572 0.11498608 16.726685 6.588217
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.11508132-0.11498608) × R
    9.52399999999964e-05 × 6371000     		dl = 606.774039999977m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.11508132-0.11498608) × R
    9.52399999999964e-05 × 6371000     		dr = 606.774039999977m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.29183984-0.29193572) × cos(0.11508132) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.993385449828895 × 6371000     		do = 606.810972238399m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.29183984-0.29193572) × cos(0.11498608) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.993396381491875 × 6371000     		du = 606.81764986091m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.11508132)-sin(0.11498608))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.993385449828895-0.993396381491875)×R²
    abs(0.29193572-0.29183984)×1.09316629801626e-05×R²
    9.58799999999926e-05×1.09316629801626e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×1.09316629801626e-05×40589641000000     		ar = 368199.171323764m²