Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 3581 / 4635
↖ ↑ ↗
← N 78.000475°
W140.657959°		 ← 253.97 m → N 78.000475°
W140.646973°		 →
↑
254.01 m
↓
↑
254.01 m
↓
N 77.998190°
W140.657959°		 ← 254.02 m →
64 517 m²		 N 77.998190°
W140.646973°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3581 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4635 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.109298706054688 y=0.141464233398438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.109298706054688 × 215)
    floor (0.109298706054688 × 32768)
    floor (3581.5)     		tx = 3581
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.141464233398438 × 215)
    floor (0.141464233398438 × 32768)
    floor (4635.5)     		ty = 4635
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 3581 / 4635 ti = "15/3581/4635"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/3581/4635.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3581 ÷ 215
    3581 ÷ 32768     		x = 0.109283447265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4635 ÷ 215
    4635 ÷ 32768     		y = 0.141448974609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.109283447265625 × 2 - 1) × π
    -0.78143310546875 × 3.1415926535     		Λ = -2.45494450
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.141448974609375 × 2 - 1) × π
    0.71710205078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.25284253454416
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.45494450} λ = -2.45494450}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.25284253454416))-π/2
    2×atan(9.51474342002889)-π/2
    2×1.46608071216817-π/2
    2.93216142433635-1.57079632675     		φ = 1.36136510
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.45494450} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -140.657959°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36136510 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.000475°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3581 KachelY 4635 -2.45494450 1.36136510 -140.657959 78.000475
    Oben rechts KachelX + 1 3582 KachelY 4635 -2.45475276 1.36136510 -140.646973 78.000475
    Unten links KachelX 3581 KachelY + 1 4636 -2.45494450 1.36132523 -140.657959 77.998190
    Unten rechts KachelX + 1 3582 KachelY + 1 4636 -2.45475276 1.36132523 -140.646973 77.998190
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36136510-1.36132523) × R
    3.98699999999419e-05 × 6371000     		dl = 254.01176999963m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36136510-1.36132523) × R
    3.98699999999419e-05 × 6371000     		dr = 254.01176999963m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.45494450--2.45475276) × cos(1.36136510) × R
    0.000191739999999996 × 0.207903588379338 × 6371000     		do = 253.969938242422m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.45494450--2.45475276) × cos(1.36132523) × R
    0.000191739999999996 × 0.207942587027589 × 6371000     		du = 254.017578037219m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36136510)-sin(1.36132523))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.207903588379338-0.207942587027589)×R²
    abs(-2.45475276--2.45494450)×3.8998648251104e-05×R²
    0.000191739999999996×3.8998648251104e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.8998648251104e-05×40589641000000     		ar = 64517.4040828916m²