Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35800 / 31609
↖ ↑ ↗
← N  6.353516°
E 16.655273°		 ← 607.04 m → N  6.353516°
E 16.660766°		 →
↑
607.03 m
↓
↑
607.03 m
↓
N  6.348057°
E 16.655273°		 ← 607.04 m →
368 491 m²		 N  6.348057°
E 16.660766°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35800 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31609 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.546272277832031 y=0.482322692871094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.546272277832031 × 216)
    floor (0.546272277832031 × 65536)
    floor (35800.5)     		tx = 35800
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.482322692871094 × 216)
    floor (0.482322692871094 × 65536)
    floor (31609.5)     		ty = 31609
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35800 / 31609 ti = "16/35800/31609"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35800/31609.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35800 ÷ 216
    35800 ÷ 65536     		x = 0.5462646484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31609 ÷ 216
    31609 ÷ 65536     		y = 0.482315063476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5462646484375 × 2 - 1) × π
    0.092529296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.29068936
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.482315063476562 × 2 - 1) × π
    0.035369873046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.11111773331929
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.29068936} λ = 0.29068936}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.11111773331929))-π/2
    2×atan(1.11752646921028)-π/2
    2×0.840843049432878-π/2
    1.68168609886576-1.57079632675     		φ = 0.11088977
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.29068936} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.655273°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.11088977 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 6.353516°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35800 KachelY 31609 0.29068936 0.11088977 16.655273 6.353516
    Oben rechts KachelX + 1 35801 KachelY 31609 0.29078523 0.11088977 16.660766 6.353516
    Unten links KachelX 35800 KachelY + 1 31610 0.29068936 0.11079449 16.655273 6.348057
    Unten rechts KachelX + 1 35801 KachelY + 1 31610 0.29078523 0.11079449 16.660766 6.348057
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.11088977-0.11079449) × R
    9.52800000000031e-05 × 6371000     		dl = 607.02888000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.11088977-0.11079449) × R
    9.52800000000031e-05 × 6371000     		dr = 607.02888000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.29068936-0.29078523) × cos(0.11088977) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.993858027077999 × 6371000     		do = 607.036328055558m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.29068936-0.29078523) × cos(0.11079449) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.993868566503976 × 6371000     		du = 607.042765408047m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.11088977)-sin(0.11079449))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.993858027077999-0.993868566503976)×R²
    abs(0.29078523-0.29068936)×1.05394259763969e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.05394259763969e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.05394259763969e-05×40589641000000     		ar = 368490.536447089m²