Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 35800 / 21560
↖ ↑ ↗
← N 76.148220°
W 81.672363°		 ← 73.12 m → N 76.148220°
W 81.669617°		 →
↑
73.14 m
↓
↑
73.14 m
↓
N 76.147562°
W 81.672363°		 ← 73.13 m →
5 348 m²		 N 76.147562°
W 81.669617°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35800 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21560 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.273136138916016 y=0.164493560791016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.273136138916016 × 217)
    floor (0.273136138916016 × 131072)
    floor (35800.5)     		tx = 35800
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.164493560791016 × 217)
    floor (0.164493560791016 × 131072)
    floor (21560.5)     		ty = 21560
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 35800 / 21560 ti = "17/35800/21560"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/35800/21560.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35800 ÷ 217
    35800 ÷ 131072     		x = 0.27313232421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21560 ÷ 217
    21560 ÷ 131072     		y = 0.16448974609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.27313232421875 × 2 - 1) × π
    -0.4537353515625 × 3.1415926535     		Λ = -1.42545165
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.16448974609375 × 2 - 1) × π
    0.6710205078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.10807309769159
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.42545165} λ = -1.42545165}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.10807309769159))-π/2
    2×atan(8.23236303228846)-π/2
    2×1.4499167421331-π/2
    2.89983348426621-1.57079632675     		φ = 1.32903716
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.42545165} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.672363°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32903716 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.148220°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35800 KachelY 21560 -1.42545165 1.32903716 -81.672363 76.148220
    Oben rechts KachelX + 1 35801 KachelY 21560 -1.42540371 1.32903716 -81.669617 76.148220
    Unten links KachelX 35800 KachelY + 1 21561 -1.42545165 1.32902568 -81.672363 76.147562
    Unten rechts KachelX + 1 35801 KachelY + 1 21561 -1.42540371 1.32902568 -81.669617 76.147562
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32903716-1.32902568) × R
    1.14799999999526e-05 × 6371000     		dl = 73.1390799996983m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32903716-1.32902568) × R
    1.14799999999526e-05 × 6371000     		dr = 73.1390799996983m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.42545165--1.42540371) × cos(1.32903716) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.239411003252545 × 6371000     		do = 73.1222828325029m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.42545165--1.42540371) × cos(1.32902568) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.239422149379008 × 6371000     		du = 73.125687146426m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32903716)-sin(1.32902568))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.239411003252545-0.239422149379008)×R²
    abs(-1.42540371--1.42545165)×1.11461264628299e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.11461264628299e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.11461264628299e-05×40589641000000     		ar = 5348.22098803475m²