Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 35800 / 104265
↖ ↑ ↗
← S 72.243054°
W 81.672363°		 ← 93.15 m → S 72.243054°
W 81.669617°		 →
↑
93.14 m
↓
↑
93.14 m
↓
S 72.243892°
W 81.672363°		 ← 93.14 m →
8 676 m²		 S 72.243892°
W 81.669617°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35800 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 104265 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.273136138916016 y=0.795482635498047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.273136138916016 × 217)
    floor (0.273136138916016 × 131072)
    floor (35800.5)     		tx = 35800
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.795482635498047 × 217)
    floor (0.795482635498047 × 131072)
    floor (104265.5)     		ty = 104265
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 35800 / 104265 ti = "17/35800/104265"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/35800/104265.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35800 ÷ 217
    35800 ÷ 131072     		x = 0.27313232421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 104265 ÷ 217
    104265 ÷ 131072     		y = 0.795478820800781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.27313232421875 × 2 - 1) × π
    -0.4537353515625 × 3.1415926535     		Λ = -1.42545165
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.795478820800781 × 2 - 1) × π
    -0.590957641601562 × 3.1415926535     		Φ = -1.85654818538515
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.42545165} λ = -1.42545165}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.85654818538515))-π/2
    2×atan(0.156210911918224)-π/2
    2×0.154958585170505-π/2
    0.309917170341009-1.57079632675     		φ = -1.26087916
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.42545165} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.672363°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26087916 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.243054°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35800 KachelY 104265 -1.42545165 -1.26087916 -81.672363 -72.243054
    Oben rechts KachelX + 1 35801 KachelY 104265 -1.42540371 -1.26087916 -81.669617 -72.243054
    Unten links KachelX 35800 KachelY + 1 104266 -1.42545165 -1.26089378 -81.672363 -72.243892
    Unten rechts KachelX + 1 35801 KachelY + 1 104266 -1.42540371 -1.26089378 -81.669617 -72.243892
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26087916--1.26089378) × R
    1.46199999999652e-05 × 6371000     		dl = 93.1440199997784m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26087916--1.26089378) × R
    1.46199999999652e-05 × 6371000     		dr = 93.1440199997784m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.42545165--1.42540371) × cos(-1.26087916) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.304979750555057 × 6371000     		do = 93.1486659982326m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.42545165--1.42540371) × cos(-1.26089378) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.304965827036287 × 6371000     		du = 93.144413397209m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26087916)-sin(-1.26089378))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.304979750555057-0.304965827036287)×R²
    abs(-1.42540371--1.42545165)×1.39235187698317e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.39235187698317e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.39235187698317e-05×40589641000000     		ar = 8676.0431568623m²