Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3580 / 572
↖ ↑ ↗
← N 78.134493°
E134.648438°		 ← 2 009.47 m → N 78.134493°
E134.736328°		 →
↑
2 011.01 m
↓
↑
2 011.01 m
↓
N 78.116408°
E134.648438°		 ← 2 012.49 m →
4 044 099 m²		 N 78.116408°
E134.736328°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3580 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 572 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.8741455078125 y=0.1397705078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.8741455078125 × 212)
    floor (0.8741455078125 × 4096)
    floor (3580.5)     		tx = 3580
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1397705078125 × 212)
    floor (0.1397705078125 × 4096)
    floor (572.5)     		ty = 572
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3580 / 572 ti = "12/3580/572"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3580/572.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3580 ÷ 212
    3580 ÷ 4096     		x = 0.8740234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 572 ÷ 212
    572 ÷ 4096     		y = 0.1396484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8740234375 × 2 - 1) × π
    0.748046875 × 3.1415926535     		Λ = 2.35005857
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1396484375 × 2 - 1) × π
    0.720703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.26415564285449
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.35005857} λ = 2.35005857}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.26415564285449))-π/2
    2×atan(9.6229959244701)-π/2
    2×1.46725024610046-π/2
    2.93450049220092-1.57079632675     		φ = 1.36370417
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.35005857} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 134.648438°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36370417 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.134493°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3580 KachelY 572 2.35005857 1.36370417 134.648438 78.134493
    Oben rechts KachelX + 1 3581 KachelY 572 2.35159255 1.36370417 134.736328 78.134493
    Unten links KachelX 3580 KachelY + 1 573 2.35005857 1.36338852 134.648438 78.116408
    Unten rechts KachelX + 1 3581 KachelY + 1 573 2.35159255 1.36338852 134.736328 78.116408
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36370417-1.36338852) × R
    0.000315650000000112 × 6371000     		dl = 2011.00615000071m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36370417-1.36338852) × R
    0.000315650000000112 × 6371000     		dr = 2011.00615000071m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.35005857-2.35159255) × cos(1.36370417) × R
    0.00153398000000005 × 0.205615061983061 × 6371000     		do = 2009.47324140638m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.35005857-2.35159255) × cos(1.36338852) × R
    0.00153398000000005 × 0.205923957224646 × 6371000     		du = 2012.49207045702m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36370417)-sin(1.36338852))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.205615061983061-0.205923957224646)×R²
    abs(2.35159255-2.35005857)×0.000308895241585505×R²
    0.00153398000000005×0.000308895241585505×6371000²
    0.00153398000000005×0.000308895241585505×40589641000000     		ar = 4044098.52220529m²