Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 3580 / 2573
↖ ↑ ↗
← N 76.775629°
W101.337891°		 ← 558.94 m → N 76.775629°
W101.315918°		 →
↑
559.06 m
↓
↑
559.06 m
↓
N 76.770602°
W101.337891°		 ← 559.15 m →
312 535 m²		 N 76.770602°
W101.315918°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3580 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2573 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.218536376953125 y=0.157073974609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.218536376953125 × 214)
    floor (0.218536376953125 × 16384)
    floor (3580.5)     		tx = 3580
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.157073974609375 × 214)
    floor (0.157073974609375 × 16384)
    floor (2573.5)     		ty = 2573
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 3580 / 2573 ti = "14/3580/2573"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/3580/2573.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3580 ÷ 214
    3580 ÷ 16384     		x = 0.218505859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2573 ÷ 214
    2573 ÷ 16384     		y = 0.15704345703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.218505859375 × 2 - 1) × π
    -0.56298828125 × 3.1415926535     		Λ = -1.76867985
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15704345703125 × 2 - 1) × π
    0.6859130859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.15485951172076
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.76867985} λ = -1.76867985}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.15485951172076))-π/2
    2×atan(8.62667814666423)-π/2
    2×1.45539192151-π/2
    2.91078384302-1.57079632675     		φ = 1.33998752
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.76867985} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -101.337891°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33998752 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.775629°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3580 KachelY 2573 -1.76867985 1.33998752 -101.337891 76.775629
    Oben rechts KachelX + 1 3581 KachelY 2573 -1.76829635 1.33998752 -101.315918 76.775629
    Unten links KachelX 3580 KachelY + 1 2574 -1.76867985 1.33989977 -101.337891 76.770602
    Unten rechts KachelX + 1 3581 KachelY + 1 2574 -1.76829635 1.33989977 -101.315918 76.770602
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33998752-1.33989977) × R
    8.77500000000531e-05 × 6371000     		dl = 559.055250000338m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33998752-1.33989977) × R
    8.77500000000531e-05 × 6371000     		dr = 559.055250000338m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.76867985--1.76829635) × cos(1.33998752) × R
    0.000383500000000092 × 0.228764956877725 × 6371000     		do = 558.936500692908m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.76867985--1.76829635) × cos(1.33989977) × R
    0.000383500000000092 × 0.228850379014879 × 6371000     		du = 559.145210764039m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33998752)-sin(1.33989977))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.228764956877725-0.228850379014879)×R²
    abs(-1.76829635--1.76867985)×8.54221371535124e-05×R²
    0.000383500000000092×8.54221371535124e-05×6371000²
    0.000383500000000092×8.54221371535124e-05×40589641000000     		ar = 312534.725559991m²