Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 35793 / 21521
↖ ↑ ↗
← N 76.173842°
W 81.691590°		 ← 72.99 m → N 76.173842°
W 81.688843°		 →
↑
73.01 m
↓
↑
73.01 m
↓
N 76.173185°
W 81.691590°		 ← 72.99 m →
5 329 m²		 N 76.173185°
W 81.688843°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35793 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21521 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.273082733154297 y=0.164196014404297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.273082733154297 × 217)
    floor (0.273082733154297 × 131072)
    floor (35793.5)     		tx = 35793
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.164196014404297 × 217)
    floor (0.164196014404297 × 131072)
    floor (21521.5)     		ty = 21521
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 35793 / 21521 ti = "17/35793/21521"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/35793/21521.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35793 ÷ 217
    35793 ÷ 131072     		x = 0.273078918457031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21521 ÷ 217
    21521 ÷ 131072     		y = 0.164192199707031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.273078918457031 × 2 - 1) × π
    -0.453842163085938 × 3.1415926535     		Λ = -1.42578721
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.164192199707031 × 2 - 1) × π
    0.671615600585938 × 3.1415926535     		Φ = 2.10994263677677
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.42578721} λ = -1.42578721}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.10994263677677))-π/2
    2×atan(8.24776815249093)-π/2
    2×1.45014033325263-π/2
    2.90028066650526-1.57079632675     		φ = 1.32948434
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.42578721} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.691590°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32948434 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.173842°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35793 KachelY 21521 -1.42578721 1.32948434 -81.691590 76.173842
    Oben rechts KachelX + 1 35794 KachelY 21521 -1.42573927 1.32948434 -81.688843 76.173842
    Unten links KachelX 35793 KachelY + 1 21522 -1.42578721 1.32947288 -81.691590 76.173185
    Unten rechts KachelX + 1 35794 KachelY + 1 21522 -1.42573927 1.32947288 -81.688843 76.173185
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32948434-1.32947288) × R
    1.14600000000742e-05 × 6371000     		dl = 73.0116600004727m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32948434-1.32947288) × R
    1.14600000000742e-05 × 6371000     		dr = 73.0116600004727m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.42578721--1.42573927) × cos(1.32948434) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.238976804078074 × 6371000     		do = 72.9896672283328m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.42578721--1.42573927) × cos(1.32947288) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.238987932012047 × 6371000     		du = 72.9930659858012m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32948434)-sin(1.32947288))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.238976804078074-0.238987932012047)×R²
    abs(-1.42573927--1.42578721)×1.11279339730097e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.11279339730097e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.11279339730097e-05×40589641000000     		ar = 5329.22084181244m²