Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35792 / 31624
↖ ↑ ↗
← N  6.271618°
E 16.611328°		 ← 607.13 m → N  6.271618°
E 16.616821°		 →
↑
607.16 m
↓
↑
607.16 m
↓
N  6.266158°
E 16.611328°		 ← 607.14 m →
368 626 m²		 N  6.266158°
E 16.616821°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35792 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31624 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.546150207519531 y=0.482551574707031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.546150207519531 × 216)
    floor (0.546150207519531 × 65536)
    floor (35792.5)     		tx = 35792
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.482551574707031 × 216)
    floor (0.482551574707031 × 65536)
    floor (31624.5)     		ty = 31624
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35792 / 31624 ti = "16/35792/31624"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35792/31624.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35792 ÷ 216
    35792 ÷ 65536     		x = 0.546142578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31624 ÷ 216
    31624 ÷ 65536     		y = 0.4825439453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.546142578125 × 2 - 1) × π
    0.09228515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.28992237
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4825439453125 × 2 - 1) × π
    0.034912109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.109679626330688
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.28992237} λ = 0.28992237}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.109679626330688))-π/2
    2×atan(1.11592050163834)-π/2
    2×0.840128355720814-π/2
    1.68025671144163-1.57079632675     		φ = 0.10946038
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.28992237} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.611328°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.10946038 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 6.271618°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35792 KachelY 31624 0.28992237 0.10946038 16.611328 6.271618
    Oben rechts KachelX + 1 35793 KachelY 31624 0.29001824 0.10946038 16.616821 6.271618
    Unten links KachelX 35792 KachelY + 1 31625 0.28992237 0.10936508 16.611328 6.266158
    Unten rechts KachelX + 1 35793 KachelY + 1 31625 0.29001824 0.10936508 16.616821 6.266158
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.10946038-0.10936508) × R
    9.52999999999926e-05 × 6371000     		dl = 607.156299999953m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.10946038-0.10936508) × R
    9.52999999999926e-05 × 6371000     		dr = 607.156299999953m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.28992237-0.29001824) × cos(0.10946038) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.994015191805612 × 6371000     		do = 607.132322349059m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.28992237-0.29001824) × cos(0.10936508) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.994025598047304 × 6371000     		du = 607.138678354216m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.10946038)-sin(0.10936508))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.994015191805612-0.994025598047304)×R²
    abs(0.29001824-0.28992237)×1.04062416920181e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.04062416920181e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.04062416920181e-05×40589641000000     		ar = 368626.144271134m²