Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 35792 / 31621
↖ ↑ ↗
← N  6.287999°
E 16.611328°		 ← 607.11 m → N  6.287999°
E 16.616821°		 →
↑
607.16 m
↓
↑
607.16 m
↓
N  6.282538°
E 16.611328°		 ← 607.12 m →
368 615 m²		 N  6.282538°
E 16.616821°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35792 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31621 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.546150207519531 y=0.482505798339844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.546150207519531 × 216)
    floor (0.546150207519531 × 65536)
    floor (35792.5)     		tx = 35792
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.482505798339844 × 216)
    floor (0.482505798339844 × 65536)
    floor (31621.5)     		ty = 31621
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35792 / 31621 ti = "16/35792/31621"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35792/31621.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35792 ÷ 216
    35792 ÷ 65536     		x = 0.546142578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31621 ÷ 216
    31621 ÷ 65536     		y = 0.482498168945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.546142578125 × 2 - 1) × π
    0.09228515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.28992237
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.482498168945312 × 2 - 1) × π
    0.035003662109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.109967247728409
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.28992237} λ = 0.28992237}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.109967247728409))-π/2
    2×atan(1.11624151041505)-π/2
    2×0.840271303492461-π/2
    1.68054260698492-1.57079632675     		φ = 0.10974628
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.28992237} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.611328°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.10974628 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 6.287999°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35792 KachelY 31621 0.28992237 0.10974628 16.611328 6.287999
    Oben rechts KachelX + 1 35793 KachelY 31621 0.29001824 0.10974628 16.616821 6.287999
    Unten links KachelX 35792 KachelY + 1 31622 0.28992237 0.10965098 16.611328 6.282538
    Unten rechts KachelX + 1 35793 KachelY + 1 31622 0.29001824 0.10965098 16.616821 6.282538
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.10974628-0.10965098) × R
    9.53000000000065e-05 × 6371000     		dl = 607.156300000041m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.10974628-0.10965098) × R
    9.53000000000065e-05 × 6371000     		dr = 607.156300000041m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.28992237-0.29001824) × cos(0.10974628) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.993983918914502 × 6371000     		do = 607.113221249636m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.28992237-0.29001824) × cos(0.10965098) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.993994352239116 × 6371000     		du = 607.119593796711m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.10974628)-sin(0.10965098))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.993983918914502-0.993994352239116)×R²
    abs(0.29001824-0.28992237)×1.04333246143673e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.04333246143673e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.04333246143673e-05×40589641000000     		ar = 368614.551940053m²