Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35788 / 31618
↖ ↑ ↗
← N  6.304379°
E 16.589355°		 ← 607.16 m → N  6.304379°
E 16.594849°		 →
↑
607.16 m
↓
↑
607.16 m
↓
N  6.298919°
E 16.589355°		 ← 607.16 m →
368 641 m²		 N  6.298919°
E 16.594849°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35788 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31618 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.546089172363281 y=0.482460021972656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.546089172363281 × 216)
    floor (0.546089172363281 × 65536)
    floor (35788.5)     		tx = 35788
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.482460021972656 × 216)
    floor (0.482460021972656 × 65536)
    floor (31618.5)     		ty = 31618
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35788 / 31618 ti = "16/35788/31618"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35788/31618.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35788 ÷ 216
    35788 ÷ 65536     		x = 0.54608154296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31618 ÷ 216
    31618 ÷ 65536     		y = 0.482452392578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.54608154296875 × 2 - 1) × π
    0.0921630859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.28953887
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.482452392578125 × 2 - 1) × π
    0.03509521484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.110254869126129
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.28953887} λ = 0.28953887}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.110254869126129))-π/2
    2×atan(1.11656261153403)-π/2
    2×0.840414246761031-π/2
    1.68082849352206-1.57079632675     		φ = 0.11003217
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.28953887} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.589355°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.11003217 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 6.304379°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35788 KachelY 31618 0.28953887 0.11003217 16.589355 6.304379
    Oben rechts KachelX + 1 35789 KachelY 31618 0.28963475 0.11003217 16.594849 6.304379
    Unten links KachelX 35788 KachelY + 1 31619 0.28953887 0.10993687 16.589355 6.298919
    Unten rechts KachelX + 1 35789 KachelY + 1 31619 0.28963475 0.10993687 16.594849 6.298919
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.11003217-0.10993687) × R
    9.52999999999926e-05 × 6371000     		dl = 607.156299999953m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.11003217-0.10993687) × R
    9.52999999999926e-05 × 6371000     		dr = 607.156299999953m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.28953887-0.28963475) × cos(0.11003217) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.993952565874432 × 6371000     		do = 607.157395914148m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.28953887-0.28963475) × cos(0.10993687) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.993963026280169 × 6371000     		du = 607.163785668474m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.11003217)-sin(0.10993687))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.993952565874432-0.993963026280169)×R²
    abs(0.28963475-0.28953887)×1.04604057368229e-05×R²
    9.58799999999926e-05×1.04604057368229e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×1.04604057368229e-05×40589641000000     		ar = 368641.378089649m²