Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35788 / 31615
↖ ↑ ↗
← N  6.320758°
E 16.589355°		 ← 607.14 m → N  6.320758°
E 16.594849°		 →
↑
607.09 m
↓
↑
607.09 m
↓
N  6.315298°
E 16.589355°		 ← 607.14 m →
368 591 m²		 N  6.315298°
E 16.594849°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35788 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31615 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.546089172363281 y=0.482414245605469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.546089172363281 × 216)
    floor (0.546089172363281 × 65536)
    floor (35788.5)     		tx = 35788
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.482414245605469 × 216)
    floor (0.482414245605469 × 65536)
    floor (31615.5)     		ty = 31615
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35788 / 31615 ti = "16/35788/31615"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35788/31615.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35788 ÷ 216
    35788 ÷ 65536     		x = 0.54608154296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31615 ÷ 216
    31615 ÷ 65536     		y = 0.482406616210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.54608154296875 × 2 - 1) × π
    0.0921630859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.28953887
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.482406616210938 × 2 - 1) × π
    0.035186767578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.110542490523849
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.28953887} λ = 0.28953887}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.110542490523849))-π/2
    2×atan(1.11688380502185)-π/2
    2×0.840557185514982-π/2
    1.68111437102996-1.57079632675     		φ = 0.11031804
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.28953887} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.589355°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.11031804 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 6.320758°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35788 KachelY 31615 0.28953887 0.11031804 16.589355 6.320758
    Oben rechts KachelX + 1 35789 KachelY 31615 0.28963475 0.11031804 16.594849 6.320758
    Unten links KachelX 35788 KachelY + 1 31616 0.28953887 0.11022275 16.589355 6.315298
    Unten rechts KachelX + 1 35789 KachelY + 1 31616 0.28963475 0.11022275 16.594849 6.315298
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.11031804-0.11022275) × R
    9.52900000000118e-05 × 6371000     		dl = 607.092590000075m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.11031804-0.11022275) × R
    9.52900000000118e-05 × 6371000     		dr = 607.092590000075m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.28953887-0.28963475) × cos(0.11031804) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.993921133797436 × 6371000     		do = 607.138195583395m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.28953887-0.28963475) × cos(0.11022275) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.993931620181548 × 6371000     		du = 607.14460120665m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.11031804)-sin(0.11022275))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.993921133797436-0.993931620181548)×R²
    abs(0.28963475-0.28953887)×1.04863841127179e-05×R²
    9.58799999999926e-05×1.04863841127179e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×1.04863841127179e-05×40589641000000     		ar = 368591.044326784m²