Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35787 / 31600
↖ ↑ ↗
← N  6.402649°
E 16.583862°		 ← 606.98 m → N  6.402649°
E 16.589355°		 →
↑
607.03 m
↓
↑
607.03 m
↓
N  6.397190°
E 16.583862°		 ← 606.98 m →
368 455 m²		 N  6.397190°
E 16.589355°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35787 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31600 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.546073913574219 y=0.482185363769531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.546073913574219 × 216)
    floor (0.546073913574219 × 65536)
    floor (35787.5)     		tx = 35787
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.482185363769531 × 216)
    floor (0.482185363769531 × 65536)
    floor (31600.5)     		ty = 31600
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35787 / 31600 ti = "16/35787/31600"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35787/31600.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35787 ÷ 216
    35787 ÷ 65536     		x = 0.546066284179688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31600 ÷ 216
    31600 ÷ 65536     		y = 0.482177734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.546066284179688 × 2 - 1) × π
    0.092132568359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.28944300
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.482177734375 × 2 - 1) × π
    0.03564453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.111980597512451
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.28944300} λ = 0.28944300}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.111980597512451))-π/2
    2×atan(1.11849115892373)-π/2
    2×0.841271811161676-π/2
    1.68254362232335-1.57079632675     		φ = 0.11174730
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.28944300} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.583862°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.11174730 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 6.402649°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35787 KachelY 31600 0.28944300 0.11174730 16.583862 6.402649
    Oben rechts KachelX + 1 35788 KachelY 31600 0.28953887 0.11174730 16.589355 6.402649
    Unten links KachelX 35787 KachelY + 1 31601 0.28944300 0.11165202 16.583862 6.397190
    Unten rechts KachelX + 1 35788 KachelY + 1 31601 0.28953887 0.11165202 16.589355 6.397190
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.11174730-0.11165202) × R
    9.52799999999893e-05 × 6371000     		dl = 607.028879999932m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.11174730-0.11165202) × R
    9.52799999999893e-05 × 6371000     		dr = 607.028879999932m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.28944300-0.28953887) × cos(0.11174730) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.993762765127179 × 6371000     		do = 606.97814322105m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.28944300-0.28953887) × cos(0.11165202) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.993773385753326 × 6371000     		du = 606.984630169611m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.11174730)-sin(0.11165202))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.993762765127179-0.993773385753326)×R²
    abs(0.28953887-0.28944300)×1.06206261476505e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.06206261476505e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.06206261476505e-05×40589641000000     		ar = 368455.231625199m²