Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35786 / 31601
↖ ↑ ↗
← N  6.397190°
E 16.578369°		 ← 606.98 m → N  6.397190°
E 16.583862°		 →
↑
607.03 m
↓
↑
607.03 m
↓
N  6.391730°
E 16.578369°		 ← 606.99 m →
368 459 m²		 N  6.391730°
E 16.583862°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35786 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31601 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.546058654785156 y=0.482200622558594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.546058654785156 × 216)
    floor (0.546058654785156 × 65536)
    floor (35786.5)     		tx = 35786
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.482200622558594 × 216)
    floor (0.482200622558594 × 65536)
    floor (31601.5)     		ty = 31601
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35786 / 31601 ti = "16/35786/31601"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35786/31601.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35786 ÷ 216
    35786 ÷ 65536     		x = 0.546051025390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31601 ÷ 216
    31601 ÷ 65536     		y = 0.482192993164062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.546051025390625 × 2 - 1) × π
    0.09210205078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.28934713
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.482192993164062 × 2 - 1) × π
    0.035614013671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.111884723713211
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.28934713} λ = 0.28934713}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.111884723713211))-π/2
    2×atan(1.11838393006721)-π/2
    2×0.841224173001149-π/2
    1.6824483460023-1.57079632675     		φ = 0.11165202
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.28934713} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.578369°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.11165202 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 6.397190°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35786 KachelY 31601 0.28934713 0.11165202 16.578369 6.397190
    Oben rechts KachelX + 1 35787 KachelY 31601 0.28944300 0.11165202 16.583862 6.397190
    Unten links KachelX 35786 KachelY + 1 31602 0.28934713 0.11155674 16.578369 6.391730
    Unten rechts KachelX + 1 35787 KachelY + 1 31602 0.28944300 0.11155674 16.583862 6.391730
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.11165202-0.11155674) × R
    9.52800000000031e-05 × 6371000     		dl = 607.02888000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.11165202-0.11155674) × R
    9.52800000000031e-05 × 6371000     		dr = 607.02888000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.28934713-0.28944300) × cos(0.11165202) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.993773385753326 × 6371000     		do = 606.984630169611m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.28934713-0.28944300) × cos(0.11155674) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.993783997357722 × 6371000     		du = 606.991111607796m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.11165202)-sin(0.11155674))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.993773385753326-0.993783997357722)×R²
    abs(0.28944300-0.28934713)×1.06116043960824e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.06116043960824e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.06116043960824e-05×40589641000000     		ar = 368459.167717898m²