Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 35785 / 31623
↖ ↑ ↗
← N  6.277078°
E 16.572876°		 ← 607.19 m → N  6.277078°
E 16.578369°		 →
↑
607.16 m
↓
↑
607.16 m
↓
N  6.271618°
E 16.572876°		 ← 607.20 m →
368 661 m²		 N  6.271618°
E 16.578369°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35785 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31623 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.546043395996094 y=0.482536315917969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.546043395996094 × 216)
    floor (0.546043395996094 × 65536)
    floor (35785.5)     		tx = 35785
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.482536315917969 × 216)
    floor (0.482536315917969 × 65536)
    floor (31623.5)     		ty = 31623
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35785 / 31623 ti = "16/35785/31623"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35785/31623.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35785 ÷ 216
    35785 ÷ 65536     		x = 0.546035766601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31623 ÷ 216
    31623 ÷ 65536     		y = 0.482528686523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.546035766601562 × 2 - 1) × π
    0.092071533203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.28925125
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.482528686523438 × 2 - 1) × π
    0.034942626953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.109775500129929
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.28925125} λ = 0.28925125}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.109775500129929))-π/2
    2×atan(1.1160274943053)-π/2
    2×0.840176005477659-π/2
    1.68035201095532-1.57079632675     		φ = 0.10955568
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.28925125} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.572876°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.10955568 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 6.277078°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35785 KachelY 31623 0.28925125 0.10955568 16.572876 6.277078
    Oben rechts KachelX + 1 35786 KachelY 31623 0.28934713 0.10955568 16.578369 6.277078
    Unten links KachelX 35785 KachelY + 1 31624 0.28925125 0.10946038 16.572876 6.271618
    Unten rechts KachelX + 1 35786 KachelY + 1 31624 0.28934713 0.10946038 16.578369 6.271618
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.10955568-0.10946038) × R
    9.53000000000065e-05 × 6371000     		dl = 607.156300000041m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.10955568-0.10946038) × R
    9.53000000000065e-05 × 6371000     		dr = 607.156300000041m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.28925125-0.28934713) × cos(0.10955568) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.994004776536185 × 6371000     		do = 607.189288874151m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.28925125-0.28934713) × cos(0.10946038) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.994015191805612 × 6371000     		du = 607.195651056895m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.10955568)-sin(0.10946038))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.994004776536185-0.994015191805612)×R²
    abs(0.28934713-0.28925125)×1.04152694274662e-05×R²
    9.58799999999926e-05×1.04152694274662e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×1.04152694274662e-05×40589641000000     		ar = 368660.733731195m²