Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 3578 / 4602
↖ ↑ ↗
← N 78.075617°
W140.690918°		 ← 252.42 m → N 78.075617°
W140.679932°		 →
↑
252.42 m
↓
↑
252.42 m
↓
N 78.073347°
W140.690918°		 ← 252.46 m →
63 721 m²		 N 78.073347°
W140.679932°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3578 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4602 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.109207153320312 y=0.140457153320312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.109207153320312 × 215)
    floor (0.109207153320312 × 32768)
    floor (3578.5)     		tx = 3578
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.140457153320312 × 215)
    floor (0.140457153320312 × 32768)
    floor (4602.5)     		ty = 4602
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 3578 / 4602 ti = "15/3578/4602"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/3578/4602.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3578 ÷ 215
    3578 ÷ 32768     		x = 0.10919189453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4602 ÷ 215
    4602 ÷ 32768     		y = 0.14044189453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.10919189453125 × 2 - 1) × π
    -0.7816162109375 × 3.1415926535     		Λ = -2.45551975
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14044189453125 × 2 - 1) × π
    0.7191162109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.25917020529401
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.45551975} λ = -2.45551975}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.25917020529401))-π/2
    2×atan(9.57514046845671)-π/2
    2×1.46673645329671-π/2
    2.93347290659343-1.57079632675     		φ = 1.36267658
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.45551975} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -140.690918°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36267658 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.075617°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3578 KachelY 4602 -2.45551975 1.36267658 -140.690918 78.075617
    Oben rechts KachelX + 1 3579 KachelY 4602 -2.45532800 1.36267658 -140.679932 78.075617
    Unten links KachelX 3578 KachelY + 1 4603 -2.45551975 1.36263696 -140.690918 78.073347
    Unten rechts KachelX + 1 3579 KachelY + 1 4603 -2.45532800 1.36263696 -140.679932 78.073347
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36267658-1.36263696) × R
    3.9620000000129e-05 × 6371000     		dl = 252.419020000822m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36267658-1.36263696) × R
    3.9620000000129e-05 × 6371000     		dr = 252.419020000822m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.45551975--2.45532800) × cos(1.36267658) × R
    0.000191749999999935 × 0.206620586678087 × 6371000     		do = 252.415818543893m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.45551975--2.45532800) × cos(1.36263696) × R
    0.000191749999999935 × 0.206659351561594 × 6371000     		du = 252.463175247106m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36267658)-sin(1.36263696))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.206620586678087-0.206659351561594)×R²
    abs(-2.45532800--2.45551975)×3.87648835067367e-05×R²
    0.000191749999999935×3.87648835067367e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.87648835067367e-05×40589641000000     		ar = 63720.5304239401m²