Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 3578 / 4583
↖ ↑ ↗
← N 78.118670°
W140.690918°		 ← 251.52 m → N 78.118670°
W140.679932°		 →
↑
251.53 m
↓
↑
251.53 m
↓
N 78.116408°
W140.690918°		 ← 251.56 m →
63 269 m²		 N 78.116408°
W140.679932°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3578 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4583 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.109207153320312 y=0.139877319335938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.109207153320312 × 215)
    floor (0.109207153320312 × 32768)
    floor (3578.5)     		tx = 3578
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.139877319335938 × 215)
    floor (0.139877319335938 × 32768)
    floor (4583.5)     		ty = 4583
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 3578 / 4583 ti = "15/3578/4583"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/3578/4583.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3578 ÷ 215
    3578 ÷ 32768     		x = 0.10919189453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4583 ÷ 215
    4583 ÷ 32768     		y = 0.139862060546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.10919189453125 × 2 - 1) × π
    -0.7816162109375 × 3.1415926535     		Λ = -2.45551975
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.139862060546875 × 2 - 1) × π
    0.72027587890625 × 3.1415926535     		Φ = 2.26281340966513
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.45551975} λ = -2.45551975}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.26281340966513))-π/2
    2×atan(9.61008828442847)-π/2
    2×1.46711216374955-π/2
    2.93422432749911-1.57079632675     		φ = 1.36342800
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.45551975} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -140.690918°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36342800 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.118670°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3578 KachelY 4583 -2.45551975 1.36342800 -140.690918 78.118670
    Oben rechts KachelX + 1 3579 KachelY 4583 -2.45532800 1.36342800 -140.679932 78.118670
    Unten links KachelX 3578 KachelY + 1 4584 -2.45551975 1.36338852 -140.690918 78.116408
    Unten rechts KachelX + 1 3579 KachelY + 1 4584 -2.45532800 1.36338852 -140.679932 78.116408
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36342800-1.36338852) × R
    3.94800000000917e-05 × 6371000     		dl = 251.527080000584m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36342800-1.36338852) × R
    3.94800000000917e-05 × 6371000     		dr = 251.527080000584m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.45551975--2.45532800) × cos(1.36342800) × R
    0.000191749999999935 × 0.205885323199669 × 6371000     		do = 251.517591819566m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.45551975--2.45532800) × cos(1.36338852) × R
    0.000191749999999935 × 0.205923957224646 × 6371000     		du = 251.564788660864m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36342800)-sin(1.36338852))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.205885323199669-0.205923957224646)×R²
    abs(-2.45532800--2.45551975)×3.86340249770023e-05×R²
    0.000191749999999935×3.86340249770023e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.86340249770023e-05×40589641000000     		ar = 63269.4210892312m²