Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35775 / 31605
↖ ↑ ↗
← N  6.375353°
E 16.517944°		 ← 607.07 m → N  6.375353°
E 16.523438°		 →
↑
607.03 m
↓
↑
607.03 m
↓
N  6.369894°
E 16.517944°		 ← 607.08 m →
368 513 m²		 N  6.369894°
E 16.523438°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35775 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31605 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.545890808105469 y=0.482261657714844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.545890808105469 × 216)
    floor (0.545890808105469 × 65536)
    floor (35775.5)     		tx = 35775
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.482261657714844 × 216)
    floor (0.482261657714844 × 65536)
    floor (31605.5)     		ty = 31605
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35775 / 31605 ti = "16/35775/31605"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35775/31605.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35775 ÷ 216
    35775 ÷ 65536     		x = 0.545883178710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31605 ÷ 216
    31605 ÷ 65536     		y = 0.482254028320312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.545883178710938 × 2 - 1) × π
    0.091766357421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.28829251
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.482254028320312 × 2 - 1) × π
    0.035491943359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.111501228516251
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.28829251} λ = 0.28829251}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.111501228516251))-π/2
    2×atan(1.11795511743072)-π/2
    2×0.841033615274441-π/2
    1.68206723054888-1.57079632675     		φ = 0.11127090
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.28829251} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.517944°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.11127090 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 6.375353°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35775 KachelY 31605 0.28829251 0.11127090 16.517944 6.375353
    Oben rechts KachelX + 1 35776 KachelY 31605 0.28838839 0.11127090 16.523438 6.375353
    Unten links KachelX 35775 KachelY + 1 31606 0.28829251 0.11117562 16.517944 6.369894
    Unten rechts KachelX + 1 35776 KachelY + 1 31606 0.28838839 0.11117562 16.523438 6.369894
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.11127090-0.11117562) × R
    9.52800000000031e-05 × 6371000     		dl = 607.02888000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.11127090-0.11117562) × R
    9.52800000000031e-05 × 6371000     		dr = 607.02888000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.28829251-0.28838839) × cos(0.11127090) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.993815778039439 × 6371000     		do = 607.073838862696m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.28829251-0.28838839) × cos(0.11117562) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.993826353555867 × 6371000     		du = 607.080298932558m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.11127090)-sin(0.11117562))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.993815778039439-0.993826353555867)×R²
    abs(0.28838839-0.28829251)×1.05755164278021e-05×R²
    9.58799999999926e-05×1.05755164278021e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×1.05755164278021e-05×40589641000000     		ar = 368513.313485378m²