Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 3577 / 2582
↖ ↑ ↗
← N 76.730314°
W101.403808°		 ← 560.80 m → N 76.730314°
W101.381836°		 →
↑
560.97 m
↓
↑
560.97 m
↓
N 76.725269°
W101.403808°		 ← 561.01 m →
314 650 m²		 N 76.725269°
W101.381836°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3577 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2582 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.218353271484375 y=0.157623291015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.218353271484375 × 214)
    floor (0.218353271484375 × 16384)
    floor (3577.5)     		tx = 3577
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.157623291015625 × 214)
    floor (0.157623291015625 × 16384)
    floor (2582.5)     		ty = 2582
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 3577 / 2582 ti = "14/3577/2582"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/3577/2582.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3577 ÷ 214
    3577 ÷ 16384     		x = 0.21832275390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2582 ÷ 214
    2582 ÷ 16384     		y = 0.1575927734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.21832275390625 × 2 - 1) × π
    -0.5633544921875 × 3.1415926535     		Λ = -1.76983033
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1575927734375 × 2 - 1) × π
    0.684814453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.15140805494812
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.76983033} λ = -1.76983033}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.15140805494812))-π/2
    2×atan(8.59695486376921)-π/2
    2×1.45499647139458-π/2
    2.90999294278916-1.57079632675     		φ = 1.33919662
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.76983033} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -101.403808°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33919662 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.730314°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3577 KachelY 2582 -1.76983033 1.33919662 -101.403808 76.730314
    Oben rechts KachelX + 1 3578 KachelY 2582 -1.76944684 1.33919662 -101.381836 76.730314
    Unten links KachelX 3577 KachelY + 1 2583 -1.76983033 1.33910857 -101.403808 76.725269
    Unten rechts KachelX + 1 3578 KachelY + 1 2583 -1.76944684 1.33910857 -101.381836 76.725269
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33919662-1.33910857) × R
    8.80500000000062e-05 × 6371000     		dl = 560.966550000039m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33919662-1.33910857) × R
    8.80500000000062e-05 × 6371000     		dr = 560.966550000039m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.76983033--1.76944684) × cos(1.33919662) × R
    0.000383489999999931 × 0.22953481191469 × 6371000     		do = 560.802847289737m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.76983033--1.76944684) × cos(1.33910857) × R
    0.000383489999999931 × 0.22962051012962 × 6371000     		du = 561.012226435932m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33919662)-sin(1.33910857))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.22953481191469-0.22962051012962)×R²
    abs(-1.76944684--1.76983033)×8.5698214930402e-05×R²
    0.000383489999999931×8.5698214930402e-05×6371000²
    0.000383489999999931×8.5698214930402e-05×40589641000000     		ar = 314650.366026708m²