Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3577 / 1863
↖ ↑ ↗
← N 69.549877°
W 22.807617°		 ← 1 707.30 m → N 69.549877°
W 22.763672°		 →
↑
1 707.87 m
↓
↑
1 707.87 m
↓
N 69.534518°
W 22.807617°		 ← 1 708.53 m →
2 916 903 m²		 N 69.534518°
W 22.763672°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3577 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1863 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.43670654296875 y=0.22747802734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.43670654296875 × 213)
    floor (0.43670654296875 × 8192)
    floor (3577.5)     		tx = 3577
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.22747802734375 × 213)
    floor (0.22747802734375 × 8192)
    floor (1863.5)     		ty = 1863
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3577 / 1863 ti = "13/3577/1863"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3577/1863.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3577 ÷ 213
    3577 ÷ 8192     		x = 0.4366455078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1863 ÷ 213
    1863 ÷ 8192     		y = 0.2274169921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4366455078125 × 2 - 1) × π
    -0.126708984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.39806801
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2274169921875 × 2 - 1) × π
    0.545166015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.71268954962537
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39806801} λ = -0.39806801}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.71268954962537))-π/2
    2×atan(5.54385190919609)-π/2
    2×1.3923353398645-π/2
    2.784670679729-1.57079632675     		φ = 1.21387435
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39806801} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.807617°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21387435 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.549877°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3577 KachelY 1863 -0.39806801 1.21387435 -22.807617 69.549877
    Oben rechts KachelX + 1 3578 KachelY 1863 -0.39730102 1.21387435 -22.763672 69.549877
    Unten links KachelX 3577 KachelY + 1 1864 -0.39806801 1.21360628 -22.807617 69.534518
    Unten rechts KachelX + 1 3578 KachelY + 1 1864 -0.39730102 1.21360628 -22.763672 69.534518
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21387435-1.21360628) × R
    0.000268069999999954 × 6371000     		dl = 1707.8739699997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21387435-1.21360628) × R
    0.000268069999999954 × 6371000     		dr = 1707.8739699997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39806801--0.39730102) × cos(1.21387435) × R
    0.000766990000000023 × 0.349391856921296 × 6371000     		do = 1707.3009644266m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39806801--0.39730102) × cos(1.21360628) × R
    0.000766990000000023 × 0.349643019707478 × 6371000     		du = 1708.52826969598m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21387435)-sin(1.21360628))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.349391856921296-0.349643019707478)×R²
    abs(-0.39730102--0.39806801)×0.000251162786182868×R²
    0.000766990000000023×0.000251162786182868×6371000²
    0.000766990000000023×0.000251162786182868×40589641000000     		ar = 2916902.93492615m²