Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35767 / 31591
↖ ↑ ↗
← N  6.451776°
E 16.473999°		 ← 606.98 m → N  6.451776°
E 16.479492°		 →
↑
606.97 m
↓
↑
606.97 m
↓
N  6.446318°
E 16.473999°		 ← 606.99 m →
368 419 m²		 N  6.446318°
E 16.479492°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35767 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31591 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.545768737792969 y=0.482048034667969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.545768737792969 × 216)
    floor (0.545768737792969 × 65536)
    floor (35767.5)     		tx = 35767
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.482048034667969 × 216)
    floor (0.482048034667969 × 65536)
    floor (31591.5)     		ty = 31591
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35767 / 31591 ti = "16/35767/31591"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35767/31591.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35767 ÷ 216
    35767 ÷ 65536     		x = 0.545761108398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31591 ÷ 216
    31591 ÷ 65536     		y = 0.482040405273438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.545761108398438 × 2 - 1) × π
    0.091522216796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.28752552
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.482040405273438 × 2 - 1) × π
    0.035919189453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.112843461705612
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.28752552} λ = 0.28752552}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.112843461705612))-π/2
    2×atan(1.11945668139261)-π/2
    2×0.841700531636076-π/2
    1.68340106327215-1.57079632675     		φ = 0.11260474
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.28752552} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.473999°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.11260474 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 6.451776°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35767 KachelY 31591 0.28752552 0.11260474 16.473999 6.451776
    Oben rechts KachelX + 1 35768 KachelY 31591 0.28762140 0.11260474 16.479492 6.451776
    Unten links KachelX 35767 KachelY + 1 31592 0.28752552 0.11250947 16.473999 6.446318
    Unten rechts KachelX + 1 35768 KachelY + 1 31592 0.28762140 0.11250947 16.479492 6.446318
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.11260474-0.11250947) × R
    9.52699999999945e-05 × 6371000     		dl = 606.965169999965m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.11260474-0.11250947) × R
    9.52699999999945e-05 × 6371000     		dr = 606.965169999965m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.28752552-0.28762140) × cos(0.11260474) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.993666782518328 × 6371000     		do = 606.982824728463m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.28752552-0.28762140) × cos(0.11250947) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.993677483205593 × 6371000     		du = 606.989361259117m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.11260474)-sin(0.11250947))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.993666782518328-0.993677483205593)×R²
    abs(0.28762140-0.28752552)×1.07006872654969e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.07006872654969e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.07006872654969e-05×40589641000000     		ar = 368419.417400278m²