Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35761 / 31571
↖ ↑ ↗
← N  6.560932°
E 16.441040°		 ← 606.79 m → N  6.560932°
E 16.446533°		 →
↑
606.77 m
↓
↑
606.77 m
↓
N  6.555475°
E 16.441040°		 ← 606.79 m →
368 185 m²		 N  6.555475°
E 16.446533°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35761 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31571 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.545677185058594 y=0.481742858886719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.545677185058594 × 216)
    floor (0.545677185058594 × 65536)
    floor (35761.5)     		tx = 35761
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.481742858886719 × 216)
    floor (0.481742858886719 × 65536)
    floor (31571.5)     		ty = 31571
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35761 / 31571 ti = "16/35761/31571"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35761/31571.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35761 ÷ 216
    35761 ÷ 65536     		x = 0.545669555664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31571 ÷ 216
    31571 ÷ 65536     		y = 0.481735229492188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.545669555664062 × 2 - 1) × π
    0.091339111328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.28695028
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.481735229492188 × 2 - 1) × π
    0.036529541015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.114760937690414
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.28695028} λ = 0.28695028}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.114760937690414))-π/2
    2×atan(1.12160527197231)-π/2
    2×0.842653094532627-π/2
    1.68530618906525-1.57079632675     		φ = 0.11450986
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.28695028} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.441040°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.11450986 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 6.560932°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35761 KachelY 31571 0.28695028 0.11450986 16.441040 6.560932
    Oben rechts KachelX + 1 35762 KachelY 31571 0.28704615 0.11450986 16.446533 6.560932
    Unten links KachelX 35761 KachelY + 1 31572 0.28695028 0.11441462 16.441040 6.555475
    Unten rechts KachelX + 1 35762 KachelY + 1 31572 0.28704615 0.11441462 16.446533 6.555475
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.11450986-0.11441462) × R
    9.52400000000103e-05 × 6371000     		dl = 606.774040000066m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.11450986-0.11441462) × R
    9.52400000000103e-05 × 6371000     		dr = 606.774040000066m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.28695028-0.28704615) × cos(0.11450986) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.993450906928615 × 6371000     		do = 606.787664047393m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.28695028-0.28704615) × cos(0.11441462) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.993461784523668 × 6371000     		du = 606.794307949418m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.11450986)-sin(0.11441462))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.993450906928615-0.993461784523668)×R²
    abs(0.28704615-0.28695028)×1.08775950528051e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.08775950528051e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.08775950528051e-05×40589641000000     		ar = 368185.01828821m²