Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35760 / 31570
↖ ↑ ↗
← N  6.566389°
E 16.435547°		 ← 606.78 m → N  6.566389°
E 16.441040°		 →
↑
606.84 m
↓
↑
606.84 m
↓
N  6.560932°
E 16.435547°		 ← 606.79 m →
368 220 m²		 N  6.560932°
E 16.441040°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35760 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31570 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.545661926269531 y=0.481727600097656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.545661926269531 × 216)
    floor (0.545661926269531 × 65536)
    floor (35760.5)     		tx = 35760
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.481727600097656 × 216)
    floor (0.481727600097656 × 65536)
    floor (31570.5)     		ty = 31570
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35760 / 31570 ti = "16/35760/31570"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35760/31570.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35760 ÷ 216
    35760 ÷ 65536     		x = 0.545654296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31570 ÷ 216
    31570 ÷ 65536     		y = 0.481719970703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.545654296875 × 2 - 1) × π
    0.09130859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.28685441
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.481719970703125 × 2 - 1) × π
    0.03656005859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.114856811489655
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.28685441} λ = 0.28685441}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.114856811489655))-π/2
    2×atan(1.12171280968592)-π/2
    2×0.842700717228103-π/2
    1.68540143445621-1.57079632675     		φ = 0.11460511
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.28685441} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.435547°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.11460511 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 6.566389°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35760 KachelY 31570 0.28685441 0.11460511 16.435547 6.566389
    Oben rechts KachelX + 1 35761 KachelY 31570 0.28695028 0.11460511 16.441040 6.566389
    Unten links KachelX 35760 KachelY + 1 31571 0.28685441 0.11450986 16.435547 6.560932
    Unten rechts KachelX + 1 35761 KachelY + 1 31571 0.28695028 0.11450986 16.441040 6.560932
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.11460511-0.11450986) × R
    9.52499999999912e-05 × 6371000     		dl = 606.837749999944m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.11460511-0.11450986) × R
    9.52499999999912e-05 × 6371000     		dr = 606.837749999944m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.28685441-0.28695028) × cos(0.11460511) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.993440019178765 × 6371000     		do = 606.781013942942m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.28685441-0.28695028) × cos(0.11450986) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.993450906928615 × 6371000     		du = 606.787664047393m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.11460511)-sin(0.11450986))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.993440019178765-0.993450906928615)×R²
    abs(0.28695028-0.28685441)×1.08877498498083e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.08877498498083e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.08877498498083e-05×40589641000000     		ar = 368219.643289419m²