Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 3576 / 2646
↖ ↑ ↗
← N 53.592505°
W 22.851562°		 ← 2 900.25 m → N 53.592505°
W 22.807617°		 →
↑
2 901.10 m
↓
↑
2 901.10 m
↓
N 53.566414°
W 22.851562°		 ← 2 902.04 m →
8 416 514 m²		 N 53.566414°
W 22.807617°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3576 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2646 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.43658447265625 y=0.32305908203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.43658447265625 × 213)
    floor (0.43658447265625 × 8192)
    floor (3576.5)     		tx = 3576
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.32305908203125 × 213)
    floor (0.32305908203125 × 8192)
    floor (2646.5)     		ty = 2646
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3576 / 2646 ti = "13/3576/2646"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3576/2646.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3576 ÷ 213
    3576 ÷ 8192     		x = 0.4365234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2646 ÷ 213
    2646 ÷ 8192     		y = 0.322998046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4365234375 × 2 - 1) × π
    -0.126953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.39883500
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.322998046875 × 2 - 1) × π
    0.35400390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.1121360711853
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39883500} λ = -0.39883500}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.1121360711853))-π/2
    2×atan(3.040846927485)-π/2
    2×1.25308099504233-π/2
    2.50616199008466-1.57079632675     		φ = 0.93536566
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39883500} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.851562°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93536566 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.592505°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3576 KachelY 2646 -0.39883500 0.93536566 -22.851562 53.592505
    Oben rechts KachelX + 1 3577 KachelY 2646 -0.39806801 0.93536566 -22.807617 53.592505
    Unten links KachelX 3576 KachelY + 1 2647 -0.39883500 0.93491030 -22.851562 53.566414
    Unten rechts KachelX + 1 3577 KachelY + 1 2647 -0.39806801 0.93491030 -22.807617 53.566414
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93536566-0.93491030) × R
    0.000455360000000016 × 6371000     		dl = 2901.0985600001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93536566-0.93491030) × R
    0.000455360000000016 × 6371000     		dr = 2901.0985600001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39883500--0.39806801) × cos(0.93536566) × R
    0.000766989999999967 × 0.593524176982808 × 6371000     		do = 2900.25190827914m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39883500--0.39806801) × cos(0.93491030) × R
    0.000766989999999967 × 0.593890596522316 × 6371000     		du = 2902.04241490027m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93536566)-sin(0.93491030))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.593524176982808-0.593890596522316)×R²
    abs(-0.39806801--0.39883500)×0.000366419539507445×R²
    0.000766989999999967×0.000366419539507445×6371000²
    0.000766989999999967×0.000366419539507445×40589641000000     		ar = 8416513.99826744m²